Lenjir i šestar ne mjere pi i kvadraturu kruga

Da nije moguće konstruisati kvadrat iste površine kao dati krug uz pomoć lenjira i šestara, dokazano je još u 19. vijeku, a profesor matematike iz Berana, Veselin Rmuš, koji tvrdi da je uspio da nađe rješenje za taj matematički problem iz antičkog doba, mogao je samo da nađe postupak u kojem se dobija približan rezultat - približna vrijednost broja pi.

To je “Vijestima” kazalo više sagovornika, profesora na univerzitetima, nakon što je u javnosti objavljeno da je profesor matematike iz beranske srednje škole uspio da riješi kvadraturu kruga, jedan od problema koji su pažnju ljudi okupirali skoro 2.500 godina.

Problem se odnosi na pitanje da li je moguće konstruisati kvadrat iste površine, kao i zadati krug.

Stari Grci su, objašnjavaju upućeni, znali da izračunaju površine raznih geometrijskih ravnih likova, izražavajući ih preko površine kvadrata, pa se prirodno nametalo i pitanje može li se i površina kruga izraziti na isti način.

Navodno rješenje “antičkog problema” nedavno je objavila kćerka Veselina Rmuša, Marina, koja je medijima uputila saopštenje u kojem tvrdi da je njen otac na Međunarodnoj konferenciji primijenjene matematike i fizike na Univerzitetu Čuo u Tokiju “dokazao da je moguće konstrusati kvadraturu kruga” uz upotrebu samo lenjira i šestara.

Sagovornici “Vijesti”, međutim, ukazuju da je priča o tri klasična geometrijska problema, među kojima su, pored kvadrature kruga, i trisekcija ugla i udvostručavanje kocke - sa stanovišta matematičke nauke - završena prije 180 godina.

Profesor matematike dr Miodrag Perović objašnjava da broj pi ne spada u brojeve koji se mogu dobiti konstrukcijama primjenom lenjira i šestara.

Pi, dakle, nije konstruktabilan broj. Broj pi ne može biti opisan ni algebarskom jednačinom sa cijelobrojnim koeficijentima i to je, podsjeća on, 1882. godine dokazao Ferdinand von Lindeman.

Njemački matematičar je utvrdio transcedentnu prirodu broja pi. Time je stavljena tačka i na mogućnost da se dokaže kvadratura kruga.

Zato Perović danas tvrdi da Rmuš nije mogao doći do bilo kakvog dokaza.

“To što on misli da je našao, to nije moguće. Mogao je da dođe do nekog finog postupka koji nas približava broju pi, ali nije svejedno da li će određena tačnost biti postignuta u pet ili u 125 zahvata lenjirom i šestarom. Mogao je da nađe postupak koji to obavlja u manjem broju koraka, ali ne može da nađe i onaj koji tačno dovodi do duži koja je jednaka broju pi. To šestarom i lenjirom nije moguće”, objasnio je Perović.

Dr Đuro Stojanović, nakon što je pregledao rad Veselina Rmuša, kazao je i da je Rmuš u navodnom rješenju problema kvadrature kruga napravio “elementarnu grešku”.

“Autor je odlučio da prilikom dokazivanja jednostavno zaokruži i rezultat množenja i broj pi, kako bi se rezultat poklopio sa onim što je njemu potrebno”, navodi Stojanović.

Kćerka profesora iz Berana u saopštenju medijima o navodnom uspjehu, navela je da je rad njenog oca “Konstrukcije kvadrature kruga, udvajanja kocke i trisekcije ugla” u cjelosti objavljen u Vojno-tehničkom glasniku na engleskom jeziku 2017. godine, a da je Rmuš rješenje prvi put predstavio ovih dana u Tokiju, gdje je “objasnio originalnu metodu za konstrukciju kvadrata iste površine kao dati krug uz upotrebu samo lenjira i šestara”.

“Rmuš je došao do niza formula koje proizlaze iz njegove glavne formule za jednake površine kvadrata i kruga. Tokom konferencije u Tokiju na kojoj su 70 eminentnih matematičara i fizičara iz 21 države svijeta predstavili radove, profesor Rmuš je objasnio primjenjivost svojih formula u građevini i arhitekturi. U svom dokazu, pošao je korak naprijed, te osim površine kvadrata i kruga, objasnio da je moguće konstruisati piramidu i kupu jednake zapremine, uzimajući za primjer Keopsovu piramidu”, tvrdi njegova kćerka.

Veselin Rmuš i njegova porodica, iako u početku vrlo raspoloženi da govore o postignuću i navodnom rješenju problema koji se smatra nerješivim, odbili su da komentarišu navode onih koji negiraju njegov rad.

“Nismo znali da će pitanje u toj mjeri zaokupiti pažnju javnosti”, kratko su kazali.

Problem iz antičkog doba

Pitanje tačnog izračunavanja površine kruga ne rješava formula A(r) = pi x r na kvadrat, pi= A(1), koju su znali Vavilonci.

Kad su uzimali pi= 3 i p= 3 i 1/8 znali su da su to samo približne vrijednosti.

Stari Grci su (kao i Vavilonci) shvatali da se proces nalaženja sve tačnije aproksimacije veličine π racionalnim brojevima produžava ad infinitum, upisivanjem u krug pravilnih mnogouglova sa sve većim brojem stranica.

Zbog ove računske ”neuhvatljivosti” broja π, oni su problem izračunavanja površine kruga formulisali i u geometrijskim terminima: Odrediti kvadrat koji je jednak datom krugu.

U ovoj formulaciji problem je poznat kao problem kvadrature kruga.

Zahtjev u početku nije bio ničim ograničen. Kad nijesu mogli da problem riješe geometrijski, ljudi su pokušavali da naprave razne mehaničke pribore pomoću kojih bi dobili stranicu traženog kvadrata.

Atinski komediograf Aristofan (ca 448-385) u svojoj komediji Ptice iz 414. p.n.e. pominje problem kvadrature kruga u kontekstu iz kojeg se vidi da je krajem V vijeka taj problem opšte poznata stvar.

U njegovoj komediji Oblaci (423 p.n.e) pominju se mehanički pribori za geometrijske konstrukcije. Filozofi i matematičari su vodili koncepcijsku raspravu da li su, odnosno koji mehanički pribori su dopustivi u matematici. Platon (427-384) kaže: ”... ako nas [geometrija] prinuđuje da posmatramo postojanje, to je odgovarajuće; ako [prinuđuje] da posmatramo nastajanje, to je neodgovarajuće. Takvo je naše stanovište”. Ovo znači da matematika treba da bude nezavisna od mehanike i da se mehanički pribori koji mijenjaju konfiguraciju s protokom vremena ne mogu prihvatiti za obavljanje geometrijskih konstrukcija.

Iz mnoštva mogućih pribora koji zadovoljavaju ovaj uslov, tokom vremena izdvojeni su šestar i lenjir i termin odrediti u geometriji je dobio značenje - konstruisati šestarom i lenjirom.

Nije poznato kada je to ograničenje postalo opšte prihvaćeno. Činjenica da sve konstrukcije u Elementima Euklid Aleksandrijski obavlja šestarom i lenjirom može se smatrati dokazom da je tradicija počela da se formira prije Euklida, tj. u Atini.

Razlog da se prednost da lenjiru i šestaru, najvjerovatnije leži u tome što su prave i krugove predsokratovci smatrali najprostijim i savršenim formama sa specijalnom ulogom u ustrojstvu svijeta.

Stanovište da prave i krugove treba smatrati prostim elementima u geometrijskim konstrukcijama, ostalo je i nakon renesanse. Newton u Principijama kaže:

”Opisati prave i krugove je problem, ali nije geometrijski problem.” Pap (IV vijek) kaže da korišćenje pribora komplikovanijih od šestara i lenjira za geometrijske konstrukcije znači impotenciju geometrije.

Objašnjenje problema kvadrature kruga je preuzeto iz autorskog rada dr Miodraga Perovića)

Šta je broj pi?

Broj pi je matematička konstanta, koja se široko primjenjuje u matematici i fizici.

Definiše se kao odnos obima i prečnika kruga, ili kao odnos površine kruga i kvadrata čija je stranica jednaka radijusu kruga.

Približna vrijednost broja pi je 3,14159. Pi je iracionalnan broj - njegova vrijednost ne može da se izrazi preko razlomaka, zbog čega njegov decimalni zapis nema kraja i nije periodičan.

Pi je i transcedentan broj - nije ga moguće izraziti korišćenjem konačnog broja cijelih brojeva uz konačno mnogo izvođenja četiri osnovne računske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje) i korjenovanje.

( Damira Kalač )