Demokrit, preteča infinitezimalnog metoda

Demokrit (oko 460-370 p.n.e.) iz Abdere na istoku Grčke, posljednji je veliki filozof prirode. Ima reputaciju značajnog polimata, čovjeka velikog znanja u mnogim oblastima. Razni izvori pominju preko sedamdeset njegovih knjiga iz etike, matematike (napisao je više eseja o brojevima, linijama i drugim geometrijskim pitanjima, koji nijesu sačuvani), fizike, biologije, muzike, astronomije, kosmologije. Vitrivius (75 p.n.e.-15 n.e) kaze da je Demokrit napravio prvi katalog zvijezda.

Demokrit je savremenik Sokrata i sofista, ali budući filozofom prirode, svrstava se u predsokratovce. U svom vremenu bio je isto toliko slavan koliko Platon i Aristotel u svom.

Kad mu je imućni otac umro, imovina je podijeljena u tri dijela koja je trebalo rasporediti na tri sina: zemlja, zgrade i novac. Demokrit je izabrao najmanji dio - novac da bi vidio svijet. Dugo je putovao po Egiptu, Mesopotamiji. Neki izvori govore da je stigao do Indije i Etiopije. Rekao je za sebe da niko od njegovih savremenika nije više putovao, vidio više zemalja i sreo više učenih ljudi od njega. Hvalio je egipatske matematičare i Anaksagoru, poznavao je Sokrata.

Vratio se bez para i živio skromno uz pomoć svog brata Damasosa. U Abderi je postojao zakon da niko ko je proćerdao nasljedstvo ne smije biti sahranjen u rodnom mjestu. U odbranu pred sudom, Demokrit je pročitao svoju knjigu "Ustrojstvo svijeta". Sudije su pozvale najboljeg ljekara Grčke Hipokrata da kaže je li Demokrit lud. Kad je pročitao knjigu, Hipokrat im je rekao, da su oni ludi, a Demokrit mudrac. Abderani su dali Demokritu nagradu od sto talenata i postavili mu statuu. Novac mu je omogućio da ne mora da radi, već da se posveti filozofiji i matematici. Laertije kaže da je živio za svoja izučavanja. "Radije bih da otkrijem jedan uzrok (=jedan prirodni zakon), nego da dobijem kraljevstvo Persije", rekao je o sebi.

Dok je Atina lako prihvatila Demokritovog znatno starijeg sugrađanina Protagoru (490-420) koji je poznat po izreci "Čovjek je mjera svih stvari" (iako ga je kasnije protjerala zbog bezbožnosti), Demokrit kaže: "Otišao sam u Atinu, ali niko nije znao za mene". Demokritova slava došla je kasnije.

Smatrao je da je siromaštvo u demokratiji bolje od prosperiteta u tiraniji i da je jednakost svuda (u svemu) plemenita.

Tvrdio je da je Zemlja okrugla, da postoji mnogo svjetova, neki bez sunca i mjeseca. Svjetovi se mogu sudarati, nestajati i nastajati. Laertije je zapisao:

"Trasil kaže: 'Izgleda da se divio pitagorejcima.' Štaviše, on pominje i samog Pitagoru, diveći mu se... Izgleda da je sve ideje primio od njega, i da je mogao biti njegov učenik da se tome ne protivi hronologija".

Pripadao je školi Leucipa koji je bio Zenonov učenik. Leucip je bio Milećanin, kao i slavni Tales, a Trakija jonska kolonija. To bi mogao biti razlog što su i učitelji i učenik imali materijalistički i deterministički poglede na svijet, bliži našem današnjem, nego Aristotelovom koji je živio pola stoljeća kasnije. Demokrit ne raspravlja o svrsi svijeta i o prvom pokretaču i finalnom uzroku kao Aristotel. Preteča je Kanta jer govori o stvarima kakve jesu i kakvima nam se čine; čulna percepcija je subjektivna, različita kod različitih ljudi; naučni zaključci dobijaju se intelektom, na osnovu čulne percepcije.

Dobio je nadimak "nasmijani filozof" jer je bio vedar, vidio komičnu stranu života i smijao se nad ljudskim glupostima. Proživio je stotinu godina. Pred smrt je bio slijep jer je mnogo gledao u sunce. Legenda kaže da je namjerno oslijepio da mu ništa ne bi odvlačilo pažnju pri razmišljanju. Laertije kaže da je pred svetkovine u čast Demetre, koje su smatrane ženksim praznikom, bio prestao da jede. Sestra ga je zamolila da ne umre i ošteti joj svetkovinu. Rekao je da će se postarati, ali da mu svaki dan donese topli hljeb. Tri dana, dok su prošle svetkovine, održao se u životu mirišući svježi hljeb koji mu je donosila.

Atomizam: Čak su duša i misao sastavljeni od atoma

Demokrit je pokušao da uskladi dva suprostavljena pristupa problemu promjene i u tome je bio uspješniji od Empedokla. Izvršio je materijalističku reviziju pitagorizma tako što je brojeve, koje su pitagorejci smatrali najmanjim komponentama materijalnih objekata, čijim raznim aranžiranjima nastaju raznolikosti koje opažamo (Art br. 734), zamijenio materijalnim atomima. Smatra se da početna ideja dolazi od Leucipa, za koga se zna samo to da je uveo pojam bezbrojnih sastavnih čestica. Demokrit kaže da je sve sagrađeno od malih nevidljivih čestica materije koje su vječne i nepromjenljive. Te najmanje djelove nazvao je atomima, (atom = nedjeljiv). Atomi su homogeni i kompaktni (bez šupljina), ali mogu biti različiti po obliku i veličini. Nalaze se u stalnom kretanju. Tako je Demokrit pomirio Parmenida i Heraklita: atom je vječno i nepromjenljivo biće; svijet se sastoji od atoma i praznog prostora; promjene se sastoje u tome što se atomi u praznom fizičkom prostoru mogu razdvajati i ponovo spajati na razne načine. Ima beskonačno mnogo svjetova, oni nastaju i nestaju. U Demokritovom atomističkom učenju sve je prazno ili sastavljeno od materije. Čak su duša i misao materijalni. U pojavama kao što je presijecanje jabuke, nož se uvlači u prazni prostor između atoma.

Idealistički usmjereni filozofi, počev od Platona, odbacili su materijalistički usmjerni atomizam. Aristotel je u nizu svojih rasprava iz prirodne filozofije takođe opovrgavao atomizam, pa je Demokritovo učenje bilo potisnuto, a njegove knjige zanemarene i, vremenom, izgubljene.

Danas možemo reći da je Demokritovo učenje o atomima bilo, uglavnom, tačno. Nauka je ustanovila da se ono što je u XX vijeku nazvano atomom može dalje dijeliti na protone, neutrone i elektrone. Pri kraju XX vijeka fizičari su ustanovili da se protoni i neutroni mogu dalje dijeliti, ali smatraju da moraju postojati neki najmanji nedjeljivi djelovi - elementarne čestice od kojih je sastavljena materija. Ako se doda još razlikovanje "tvari" i "sile" o kojima je govorio Empedokle, onda se dobije stajaliste savremene nauke: Svi prirodni procesi mogu se objasniti kao suigra između različitih elementarnih čestica i nekoliko prirodnih sila koje izazivaju njihovu interakciju.

Matematički atomizam - rudiment infinitezimalnog računa

Prirodni filozofi su geometrijske objekte smatrali idealizacijom objekata realnog svijeta, pa je Demokrit svoj atomizam proširio i na matematiku, razmatrajući tačke, linije i figure u ravni i prostoru, ne kao idealne matematičke pojmove, već materijalne objekte sastavljene od atoma. Atomizam u matematici je bio odstupanje od tendencija koje su nakon Talesa i Pitagore postale dominantne - da se od vavilonskog i egipatskog matematičkog iskustva datog u formi recepata za rješavanje zadataka, postepeno pravi deduktivni sistem u kojem nema hipoteza koje leže izvan matematike. Demokrit je za narušavanje ovog pravila imao opravdanje. Koristeći atomizam napravio je niz značajnih matematičkih otkrića u trenutku kad su ona bila nedostupna matematičarima njegovog vremena, kad ovi još nijesu bili našli ni postulate iz kojih bi ih trebalo izvoditi, ni matematički aparat kojim bi ih izvodili.

Matematički atomizam se razlikovao od fizičkog atomizma. U matematičkom atomizmu nužno je zamisliti dijeljenje atoma na sitnije djelove. Stoga su atomisti u matematičkom atomizmu koristili nedjeljive amere na koje je moguće dijeliti atome. Sofista Antifon (V vijek p.n.e.) upisanom mnogouglu u krug udvaja broj stranica sve dok, kako on kaže, istraživač ne dođe "do onih minimalnih čestica od kojih se sastoji kako prava tako i obim".

Vavilonaci su znali da postoji konstanta kojom treba pomnožiti dijametar kruga da bi se dobio njegov obim i konstanta kojom treba pomnožiti kvdrat radijusa da bi se dobila površina kruga. Znali su i da su te dvije konstante jednake: O = 2 Pi i A = Pi r2 (Art br. 726). (Zajedničku njihovu vrijednost Euler je u osamnaestom vijeku označio sa Pi.) Nakon što su pitagorejci otkrili egzistenciju nesamjerljivih veličina, Pi je izgubio status broja, pa su ova tvrđenja preformulisali: Obimi dva kruga odnose se kao njihovi radijusi a površine kao kvadrati nad radijusima. Dokaz drugog od ovih tvrđenja čekao je sto pedeset godina na Eudoksovu definiciju proporcije (termina "imaju isti odnos"), a dokaz prvog vijek duže - do Arhimeda.

Demokrit je dužine mogao mjeriti dužinama atoma, a površinu kvadratima čija je stranica atom. Stoga su se prethodna tvrđenja za njega odnosila na brojeve i njegov "dokaz" bio je vrlo sličan zaključivanju vavilonskih pisara, s tim što su obrazloženja bila atomistička. Iz atomističkih postulata proizilazi da se linija sastoji iz pravolinijskih odsječaka neobično male dužine (jednake dužini atoma). Stoga je krug pravilni mnogougao sa veoma velikim brojem stranica. Njemu koncentircan krug u istoj ravni je takođe pravilni mnogougao. Ako pretpostavimo da ima isti broj stranica, (što bi, dosljednom primjenom atomističkih hipoteza, bilo moguće jedino uz pretpostavku da su ta dva kruga napravljena od atoma koji imaju različite dimenzije, tj. od različitog materijala), onda jednakokraki trouglovi iz kojih je sastavljen jedan krug - mnogougao, slični su trouglovima iz kojih je sastavljen drugi krug - mnogougao; koeficijenat sličnosti jednak je odnosu radijusa. Ostatak dokaza je isti kao kod Vavilonaca za mnogouglove. Dosljednom primjenom atomizma nije moguće "dokazati" da se u formulama za obim i površinu kruga javlja ista konstanta. Ovo je mjesto na kojem su atomisti, vjerovatno, koristeći amere kao "minimalne matematičke čestice", i predstavljali krug kao uniju radijusa i ove posmatrali kao jednakokrake "trouglove" kod kojih je visina jednaka kraku - poluprečniku kruga r. To daje A(r) = O(r)r/2 i traženu jednakost konstanti.

Međutim, ovdje matematički atomizam prerasta u infinitezimalni metod i sume od beskonačno mnogo sabiraka, što su Elejci odbacili.

Formulu za površinu elipse atomisti su dobili na osnovu predstave o elipsi kao o "spljoštenom krugu" koju sretamo još kod Egipćana na raznim crtežima: elipsa sa poluosama a i b dobija se tako sto se sve tetive ortogonalne na jedan prečnik kruga poluprečnika a "spljošte" s koeficijentom k = ba. Ako krug shvatimo atomistički kao ukupnost tetiva veoma male širine, onda skraćene tetive pomoću kojih se pravi elipsa imaju istu "širinu" kao i tetive kruga, a visine jednake proizvodu koeficijenta k i visine tetiva iz kojih nastaju. Sabiranjem ovih tetiva dobija se da je površina elipse A = k površina kruga = ka2. Kako je ka = b, slijedi A = ab.

Prvi u istoriji "dokaz" formule za zapreminu piramide

Vidjeli smo da su stari Egipćani i Vavilonci mjerenjem ustanovili da je zapremina piramide jednaka trećini zapremine prizme koja ima istu bazu i istu visinu. Arhimed kaže: "Demokrit... je bio prvi ko je ... [tvrdio] ... da je konus treći dio [opisanog] cilindra, i piramida od prizme koja ima istu bazu i jednaku visinu. Ali, Demokrit nije dokazao ova tvrđenja strogo, već je to učinio Eudoks. "Plutarh tvrdi da je Demokrit do ovih formula došao tako što je smatrao da je proizvoljna piramida sastavljena iz veoma mnogo veoma tankih paralelnih ravnih presjeka, tj. prizmi. Odavde se može zaključiti da je Demokrit izdijelio piramidu na slojeve koji su tanki koliko i atom; svaki sloj je onda, u stvari, prizma čija je zapremina proizvod baze i visine, tj. Bh a, gdje je a visina jednog atoma, a Bh površina presjeka piramide koji se nalazi na udaljenosti h od njenog vrha. Kako su baze Bh i B slični mnogouglovi, nije teško dokazati da ako su baze i visine dvije piramide jednake, da su jednaki i njihovi presjeci Bh s istom ravni koja je paralelna sa ravni u kojoj leže baze. Slijedi da piramide koje imaju jednake baze i jednake visine imaju jednake zapremine jer su ove jednake sumi istih sabiraka oblika Bh a. Formula V = BH/3 onda slijedi iz činjenice da se 3-strana prizma koja ima istu bazu i istu visinu kao posmatrana 3-strana piramida, može podijeliti na tri 3-strane piramide takve da svake dvije od njih imaju jednaku po jednu bazu i visinu.

Kritika matematičkog atomizma

Matematičari su razvili dvostruku kritiku matematičkog atomizma. Za njih je bilo neprihvatljivo da se matematička tvrđenja izvode iz hipoteza o ustrojstvu materije (makar i adaptiranih za potrebe matematike), bez obzira na to što se smatralo da geometrijski objekti, na izvjestan način, pripadaju realnom svijetu.

Aristotel je isticao da uvođenje nedjeljivih veličina u matematiku potresa njene principe. Jer matematičari su od početka smatrali da su matematičke veličine beskonačno djeljive, pa ne mogu biti sastavljene od nedjeljivih atoma i amera. Koncept neprekidnosti matematičkih objekata po kojima je moguće mehaničko kretanje takođe je u koliziji sa pretpostavkom da postoje nedjeljive veličine.

Primjena matematičkog atomizma dovodila je i do nelogičnosti. Iz atomističke hipoteze slijedi da su svake dvije duži (sastavljene iz istorodnih atoma) samjerljive, što znači da se nesamjerljive duži ne mogu napraviti od istog materijala. Atomisti ne mogu krug podijeliti na dva jednaka polukruga jer će se pri diobi kruga na dva dijela središte kao nedjeljivi atom prisajediniti bilo jednom bilo drugom dijelu. Da bi postojali jednakokraki trouglovi kod kojih je visina jednaka kraku i konusi kod kojih je visina jednaka izvodnici, mora se postulirati egzistencija pravolinijskih elemenata čija dužina je manja od svega postojećeg (konačnog). Te zamišljenje veličine su u XVII vijeku nazvane infinitezimalama. Do njih se ne može doći nikakvim usitnjavanjem konačnih veličina koje je zamišljao Antifon. Njihovo uvođenje u matematiku vodi k infinitezimalnom metodu i beskonačnim sumama.

Zbog toga atomisti nijesu razvili infinitezimalni metod, iako se tek uvođenjem infinitezimala mogu realizovati ideje matematičkog atomizma.

Rezulatat višestruke kritike atomizma u matematici bio je da su atomistički dokazi matematičkih tvrđenja prihvaćeni kao nešto privremeno, što treba zamijeniti čistim geometrijskim dokazima. Matematičari su shvatali da je matematički atomizam bio uspješan jer je dobra tehnička zamjena za teoriju graničnih vrijednosti od čijeg razvoja su odustali. Kao što smo već rekli (Art br. 738), mladi Aristotelov savremenik Eudoks, sredinom četvrtog stoljeća p.n.e. napravio je ekvivalent teorije graničnih vrijednosti - metod ekshaustije, pomoću kojeg je našao geometrijske dokaze niza teorema koje su "dokazali" atomisti. One rezultate atomista koje nije dokazao Eudoks, dokazaće Arhimed približno stoljeće i po poslije atomista.

Inspirisan tehničkim uspjehom atomizma, Arhimed će izumiti prvi infinitezimalni metod i od njega napraviti moćno oruđe za pravljenje matematičkih otkrića.

Cavalierijev princip 2000 godina prije Cavalierija

Pošto su tijelo sastavljali iz tankih ravnih slojeva, postavlja se pitanje da li su atomisti znali za Cavallierijev princip koji je odigrao vaznu ulogu u razvoju infinitezimalnog računa u sedamnaestom stoljeću: Ako su svi presjeci dva tijela ravnima iz nekog snopa paralelnih ravni jednaki, onda su i zapremine tijela jednake. Sljedeći detalji iz istorije matematike raspaljuju maštu istoričara u vezi sa odgovorom na postavljeno pitanje.

Stoik Krisip(us) (279-206) navodi da je Demokrit ispitivao da li granična površ tijela koje ima iste ravne kružne presjeke kao i konus, ima površinu jednaku površini konusa. Ovo rezonovanje nedvojbeno pripada krugu ideja iz Cavalierijevog principa i znači da su atomisti pokušavali da primijene Cavalierijev princip i u drugim prilikama, ne samo na piramidu.

Na prvi pogled besmislena Antifonova fraza da se povećavanjem broja stranica mnogougla upisanog u krug dolazi "do onih minimalnih cestica od kojih se sastoji kako prava tako i obim", sada dobija puni smisao: Atomisti su mislili pomocu inifinitezimala, na isti način kao Arhimed i tvorci infinitezimalnog računa; ako je "dužina" tačke neko dx (koje nije broj), onda je suma svih dx od tacke a do tacke b jednaka b a. To znači da su Demokrit i atomisti prvi koji su imali ideju o in infitezimalnom metodu, ali je nijesu razradili jer nije mogla da se uklopi u atomizam.

( Miodrag Perović )