Elejci - izumitelji beskonačnosti

Vidjeli smo da su trojica filozofa iz jonske škole (Tales, Anaksimandar i Anaksimen) smatrali da mora postojati jedna jedina pratvar od koje je sve drugo nastalo. Takvom filozofskom projektu ostaje onda da još odgovori na pitanje: kako se jedna tvar može pretvoriti u nešto drugo? Taj problem se naziva problemom promjene. Pitagorejsko tumačenje raznolikosti u spoljnom svijetu rearanžiranjem brojeva nije bio potpuni odgovor na ovo pitanje.

Oko 500. godine p.n.e. dva poznata filozofa dala su dva krajnje suprostavljena odgovora na problem promjene.

Heraklit (540-480) iz Efesa u Maloj Aziji je smatrao da su stalne promjene, koje registrujemo čulima, osnovno svojstvo prirode. Panta rei (sve teče) kaže Heraklit, "dva put se u istu vodu ne može ugaziti". Kad ponovo ugazimo, nijesmo isti ni mi ni voda. Parmenid (515-450), osnivač filozofske škole u grčkoj koloniji Eleji u južnoj Italiji, osporio je i pitagorejce i Empedokla. Materijalno je opisao izrekom to jeste, a prazni prostor izrekom to nije. Smatrao je da je misliti o nečemu i njegovo postojanje - isto. (Kod nas se sreta prevod ove misli u obliku: "Isto je misliti i biti", u kojem nije jasno da se odnosi na stvar o kojoj se misli.) Stoga stvari o kojima mislimo ne mogu prestati da postoje ni za trenutak, pa sve što postoji, postoji oduvijek. Nikakva stvarna promjena nije moguća, ništa se ne može pretvoriti ni u šta drugo osim u ono što jeste. Promjene u prirodi koje registrujemo čulima samo su "obmana čula". To nije je samo jezička forma negacije od to jeste; praznina, u stvari, ne postoji, čovjek je ne može ni zamisliti. To implicira svijet kao kompaktnu cjelinu u kojoj nema pitagorejske monade i jedinice i sastavljanja raznolikosti pomoću brojeva.

Empedokle sa Sicilije (oko 494-434) pokušao je da pomiri Parmenida i Heraklita: Nikakva promjena tvari nije moguća, ali postoje četiri osnovne tvari - zemlja, vazduh, voda i vatra; promjene nastaju sastavljanjem i rastavljanjem ova četiri korijena koja se odvijaju pod djejstvom dvije sile, jedna izaziva spajanje a druga rastakanje. On ih je nazvao "ljubav" i "mržnja".

Pomenimo, radi kurioziteta, da su Parmenid i Empedokle bili jedini filozofi toga vremena koji su svoje filozofske spise pisali u stihovima.

Zenonovi paradoksi

Parmenidov učenik Zenon (rođen oko 490. p.n.e.), u podršku učenju o nepromjenljivosti svega "što jeste" svog učitelja Parmenida, formulisao je 40 tzv. Zenonovih paradoksa. Platon u Parmenidu pominje četiri, koji se tiču kretanja. Paradoksi Ahil i Dihotomija treba da pokažu da je kretanje nemoguće pod pretpostavkom beskonačne djeljivosti prostora i vremena; Strijela i Stadion da je kretanje nemoguće i pod suprotnom pretpostavkom da se dijeljenje prostora i vremena završava nedjeljivim elementima (veličinama). Paradoksi Ahil i Dihotomija su važni za matematiku.

Ahil. Ahil i kornjača krecu se u istom smjeru po pravoj. Ahil je mnogo brži od kornjace, ali da bi je stigao, mora najprije proći kroz tačku K iz koje je kornjača počela da se kreće. Dok Ahil stigne u tačku K, kornjača prođe put do tačke K1. Ahil ne može stići kornjaču dok ne stigne u tacku K1, no kornjača se do tada pomjeri u tačku K2. Kad se Ahil nađe u tački K2, kornjača će biti u novoj tački K3, i td. Slijedi da Ahil ne može nikada da stigne kornjaču.

Dihotomija (dijeljenje na dva). Pretpostavimo da ja hoću da prođem od A do B po pravoj. Da bi stigao u B, moram najprije preći polovinu AB1 duži AB; da bi stigao u B1 moram najprije stići u tačku B2 na pola puta od A do B1 i tako do beskonačnosti. Slijedi da se kretanje nikada ne može započeti. Svako zna da će Ahil stići kornjaču ako se kreće (konstantnom) brzinom vA većom od njene (konstantne) brzine vk. Sta je, onda, pogrešno u Zenonovom rezonovanju?

Jedno rješenje paradoksa Ahil (Abner Simoni)

Filozofska drama. Scena: Škola u Eleji. Lica: Zenon, Učenik, Lav... Učenik: Ucitelju! Pojavio se lav na ulici! Zenon: Vrlo dobro si naučio lekciju iz geografije. Petnaesti meridijan mjereno od Griniča poklapa se sa autoputem od Posejdonovog hrama do Agore - ali ne smijete zaboraviti da je to imaginarna linija. Učenik: O, ne Učitelju! Moram da se ponizno ne složim. Ovo je stvarni lav, lav iz menažerije, i ide prema školi! Zenon: Moj dječače, uprkos tvom znanju iz geografije..., to što je imaginarno ne može biti realno. Biće jeste i nebiće nije, kako je moj uvaženi učitelj Parmenid prvi pokazao... Učenik: Oprostite mi, Učitelju. U žurbi i uzbuđenju govorio sam nejasno. (...) To što sam želio da kažem je da je lav pobjegao iz zoološkog vrta, i nekontrolisaom brzinom juri prema školi i uskoro će biti ovdje. Lav se pojavljuje na rastojanju. Zanon: Oh, moj dječače! Muči me misao koliko je ljudski intelekt nesaglasan sa istinom. Realni lav, možda; ali koji realno trči, nemoguće; i realno stiže ovdje, apsurd! Učenik: Učitelju... Zenon: Da bi dotrčao iz zoološkog vrta u elejsku školu, lav bi morao prvo da prođe polovinu tog rastojanja. Lav se već približio na pola rastojanja na kojem je maloprije bio. Zenon: Ali prvo postoji polovina od te polovine i prva polovina od te polovine, i ponovo prva polovina od te polovine koje treba preći... i lav bi morao da krene prije beskonačno mnogo vremena. Lav upada u školsko dvorište. Učenik: O Učitelju, trči, trči! On je pred nama. Zenon: I tako, primjenom metoda reductio ad absusrdum (svođenjem na apsurd), dokazali smo da lav ne može da započne svoj trk, i samo je fantazija tako bespotrebno izazvala kod tebe paniku. Učenik se penje na jonsku kolonu, dok lav proždire Zenona. Učenik: Moj um je pomračen. Postoji li greška u Učiteljevoj argumentaciji?

Matematički model paradoksa Ahil

Vavilonci su znali da je izračunavanje uzastopnih seksagezimala pri vađenju kvadratnog korijena postupak koji se (u tipičnoj situaciji) nikad ne završava kao i kad mi izračunavamo uzastopne decimale. Oni su o tom postupku mislili kao o nalaženju sve preciznije aproksimacije kvadratnog korijena datog broja, ali ne i kao o predstavljanju vrijednosti kvadratnog korijena u obliku "sume od beskonačno mnogo članova" {seksagezimala. U Ahilu i Dihotomiji "suma od beskonačno mnogo članova" pojavljuje se eskplicitno. To se odnosi i na vrijeme koje protekne i na put koji Ahil prođe dok stigne kornjaču.

Neka je t0 vrijeme koje protekne dok Ahil iz početne tačke A stigne u tačku K iz koje kornjača započinje svoje kretanje, t1 vrijeme koje protekne dok Ahil iz tačke K stigne u tačku K1, t2 vrijeme dok on iz tačke K1 stigne u tačku K2, itd. Ukupno vrijeme koje protekne tokom Ahilovog trčanja za kornjačom intuitivno dozivljavamo kao "sumu od beskonačno sabirka" t0 + t1 + t2 + . Ova "suma" ne može se objasniti algebarski pomoću operacije sabiranja brojeva jer nema isti smisao kao obično - algebarsko sabiranje, gdje se "suma od n članova" nalazi tako što se n 1 put obavlja sabiranje (dodavanje) jos jednog sabirka.

Moderno tumačenje: t0 + t1 + t2 + je oznaka za tzv. niz parcijalnih suma od po n sabiraka, koji nazivamo (beskonačnim) redom. Ako ovaj red konvergira k nekom broju t (razlika t sn sa porastom postaje manja od svakog unaprijed zadatog pozitivnog broja), t se naziva sumom reda i označava se sa t = t0 + t1 + t2 +... . Ako su brzine vA i vk konstantne i vk/vA = q, onda je t1 = qt0; t2 = qt1 = (q na kvadrat) t0 = itd, pa se red t0 +t1 +t2 + pretvara u geometrijski red za koji mnogi čitaoci znaju da konvergira za q < 1 i divergira za q›1. (Matematički gledano, Dihotomija je specijalan slučaj situacije u Ahilu koji se dobija za q = 1/2.)

Jasno je da će Ahil stići kornjaču u trenutku t = t0 + t1 + t2 +... ako red konvergira; ako red t0 + t1 + t2 +... divergira (ne konvergira ni ka kojem t), Ahil neće stići kornjaču. (Ako je odnos q Ahilove i kornjačine brzine veći od 1, Ahil će stići kornjaču, ako je manji ili jednak 1, neće je nikad stići.) Međutim, nije jasno šta je pogrešno u Zenonovom rezonovanju, na čemu počiva spekulacija koja "pokazuje" da Ahil nikad neće stići kornjaču?

Potencijalna i aktuelna beskonačnost

Zenonovi paradoksi Ahil i Dihotomija počivaju, u stvari, na drugačijem shvatanju pojma beskonačno mnogo u odnosu na to kako se taj pojam shvata u modernoj matematici. Antički Grci su prihvatili stanovište da čovjek može bez prestanka, korak po korak, da pravi prirodne brojeve ili da obavlja dijeljenje objekta {potencijalna beskonačnost, ali ne može obezbijediti da u istom trenutku postoje svi prirodni brojeve odjednom, odnosno proces dijeljenja se ne može završiti tako da svi djelići koji se javljaju u procesu dijeljenja postoje u istom trenutku { aktuelna ili završena beskonačnost. Smatrali su da aktuelna beskonačnost nije fizički ostvariva i da nije podložna ljudskom mišljenju. Dodatni razlog da Elejci, a za njima i svi antički mislioci, odbace aktuelnu beskonačnost bio je i "paradoks": kako je to moguće da jedna tačka ima nultu veličinu (dužinu), a duž kao skup sastavljen od beskonačno mnogo tačaka (beskonačno mnogo nultih veličina) ima nenultu veličinu? Nijesu naslućivali da postoje tzv. neprebrojivi skupovi (vidi niže), pa pošto im je bilo jasno da je mjera (dužina ili površina) prebrojivog skupa jednaka nuli, zadovoljavajuće metafizičko objašnjenje ovog "paradoksa" nijesu mogli naći.

U oznakama koje se danas koriste, potencijalnu beskonačnost označavamo sa 1, 2, 3,..., sa značenjem da se proces koji se izvodi može produžiti korak po korak ad in nitum. Mogućnost da svi prirodni brojevi postoje odjednom, tj. egzistencija skupa {1, 2, 3,...} je aktuelna beskonačnost.

Za formulaciju definicije konvergentnog niza dovoljna je potencijalna beskonačnost, ali sadržaj pojma limes zavisi od toga da li prihvatamo ili odbacujemo aktuelnu beskonačnost. Ako postoji aktuelna beskonačnost, onda svi članovi niza (an) postoje odjednom, istovremeno; ako aktuelna beskonačnost ne postoji, članovi niza (an) se korak po korak stalno rađaju, ali ne postoje svi odjednom. Ako aktuelna beskonačnost postoji, onda je b sastavljeno iz beskonačno mnogo svojih djelića a1, a2, a3,... i relacija a1 + a2 + a3 +... = b, sadržajno, znači da je b suma tih djelića. Ako aktuelna beskonačnost ne postoji, onda b ne može biti izdijeljeno na beskonačno mnogo djelića koji postoje istovremeno; relacija a1 + a2 + a3 +... = b i formalno i sadržajno znači isto: dodajući jedan po jedan sve više se priblizavamo k b, ali zbir nikada ne postaje jednak b, već se iz b - (a1 + a2 +...+ an) izdvaja naredni djelić an+1, ali se ovaj proces nikada ne završava.

Odbacivanjem aktualne beskonačnosti i prihvatanjem samo potencijalne beskonačnosti uvodi se vremenski faktor u matematiku jer nizovi i redovi postaju procesi u vremenu. Proces dijeljenja matematičke veličine na djelove i sumiranje djelova sadržajno se interpretiraju kao procesi koji traju. Za koje je Frege 1893. rekao da je potrebna beskonačna količina papira, mastila i vremena. Stvara se iluzija da je sumiranje reda a1 + a2 + a3 +... vremenski proces koji se ne može završiti za konačno vrijeme. To omogućuje rezonovanje na kojem počivaju Zenonovi paradoksi

Ahil i Dihotomija. Dva antička citata o potencijalnoj i aktualnoj beskonačnosti: 1. Aristotel (stoljeće poslije Zenona) "Jasno je da ako beskonačnost uopšte ne postoji, nastaju mnoge nemogućnosti: vrijeme će imati početak i kraj, veličine neće biti djeljive na veličine, i brojeva neće biti beskonačno. ... Jasno je da postoji smisao u kojem beskonačnost postoji i drugi smisao u kojem ne postoji. ... Sada, kao što smo objasnili, veličina nije nikada aktualno beskonačna, već je beskonačna putem dijeljenja ...".

2. Proklo (osam i po stoljeća poslije Zenona) "... Veličina je neograničeno djeljiva, ali ne u beskonačan broj djelova. Posljednje tvrđenje čini beskonačni broj aktualnim, prethodno samo potencijalnim; posljednje beskonačnosti pripisuje egzistenciju, drugo samo nastajanje."

Zenonovi paradoksi od Aristotela do Heisenberga

Aristotel stoljeće poslije Zenona kaže da je rezonovanje u paradoskima Ahil i Dihotomija moguće jedino ako se pretpostavi da su prostor i vrijeme beskonačno djeljivi. Ako odbacimo mogućnost da postoje proizvoljno mali djelići prostora i vremena, onda Zenonovo rezonovanje nije moguće. Ova argumentacija počela je još u Zenonovo vrijeme, što je usmjerilo diskusiju na pitanja izvan matematike, u kojoj se jedino može objasniti na čemu počivaju Zenonovi paradoksi kretanja.

Stoga filozofi od Aristotela pa do danas pokušavaju da u okviru filozofije i nauke (prirodne filozofije) objasne šta u Zenonovom rezonovanju dovodi do paradoksa. Neki fizičari novog vremena su otišli toliko daleko da su se pozvali na Heisenbergov princip neodredenosti (sic!) po kojem se može tačno izmjeriti položaj tačke ili njeno vrijeme, ali ne i položaj i vrijeme istovremeno.

(Kraj u narednom broju)

( Miodrag Perović )