Matematičari koji su promijenili svijet: Nauka o procesima u fizičkom svijetu

(Nastavak iz prošlog broja)

Egipatski pisari tokom vremena stvorili su kalendar baziran na njihovim astronomskim znanjima čijom reformom je nastao kalendar koji se danas koristi u cijelom svijetu. Godinu kao jasnu vremensku periodu (koja protekne dok Zemlja i Sunce ponovo budu imali isti položaj jedno prema drugom, trebalo je izdijeliti na manje jedinice koje bi se mjerile osnovnom jedinicom - danom. Dosta precizno izmjerili su dužinu solarne godine i našli da je ova 365 cijelih i jednu četvrtinu dana. Prirodna ideja je bila da se za jedinicu koja bi igrala ulogu onog što danas nazivamo mjesecom, uzme Mjesečeva perioda, ali broj dana u godini nije bio s njom djeljiv. Godine 4241. p.n.e. antički Egipćani su prihvatili su kalendar od 12 mjeseci po 30 dana poslije kojih je slijedillo još 5 dana kojima se završavala godina. Pošto nijesu ubacivali dodatni dan svake četvrte godine, kalendar nije bio u relaciji sa godišnjim dobima. Zato je bilo potrebno po 4×365 = 1460 godina dok se kalendar vrati u početno stanje. Ovaj interval vremena zove se zodijakom, što je bio egipatski naziv za Sirijus. (Ovo sugeriše da su Egipćani znali za Sirijusov ciklus, ali nemamo dokaza da je to tačno.) Julije Cezar je 45 godine prije Hrista, po savjetu aleksandrijskog Grka Zosigena, prihvatio Egipatski kalendar, ali je za godinu uzeo 365 cijelih i jednu četvrtinu dana, s tim što se popravka kalendara vršila svake četvrte godine dodavanjem jednog dana - prestupna godina.

Kad se u renesansnoj Evropi usavršila astronomska posmatračka tehnika ustanovljeno je da julijanski kalendar griješi oko 11 min i 14 sekundi godišnje, što znači da se, približno, svakih 128 godina nova godina pomjeri jedan dan od trenutka kad Zemlja zatvara punu revoluciju oko Sunca. (Odnosno, u terminima iz vremena kad se vjerovalo da je Zemlja nepokretna, kad Sunce izlazi na istom mjestu u odnosu na Zemlju). To je hrišćanskim crkvama otežavalo izračunavanje tačne godišnjice Hristovog vaskrsenja. Na zahtjev pape Grgura (Gregorija) XIII, formirana je 1575. godine komisija za reformu kalendara na čijem čelu je bio njemački matematičar i astronom, jezuita Christopher Clavius (1538 - 1612). Italijanski astronom Luigi Lilio (1510 - 1576) predložio je najbolje rješenje, ali je uskoro umro. Tako je predlog papi u ime komisije obrazložio Clavius, pa se često kaže da je Clavius napravio popravku julijanskog kalendara. Pošto se između dvije prestupne godine julijanskog kalendara akumulira greška od 4×11 min. 14 sec.=3/4 sata (minus 4 sec), odnosno za 400 godina 3 dana i 3 sata (minus 400 sec), predlog je predviđao da ne bude svaka četvrta godina prestupna, već da one koje su djeljive sa 100 to ne budu, osim ako su djeljive sa 400. Papa Grgur je prihvatio predlog i svojom bulom 1582. godine uveo u praksu novi kalendar zbog čega je ovaj nazvan gregorijanskim. Iz prethodnog računa slijedi da ovaj kalendar svakih četiri stotine godina akumulira grešku od približno 3 sata (minus 400 sekundi), što znači da ga treba popravljati za jedan dan približno svakih 3200 godina. Gregorijanski kalendar prihvaćen je kao zvanični svjetovni kalendar u cijelom svijetu. Nekoliko hrišćanskih pravoslavnih crkava produžava da koristi julijanski kalendar, iako je grčka pravoslavna crkva (koja je rodonačelnik pravoslavlja) prihvatila gregorijanski kalendar 1923. godine. Prvog marta 2100. godine razlika između julijanskog i gregorijanskog kalendara povećaće se sa sadašnjih 13 na 14 dana.

Stari Egipćani su smatrali da se pomoću matematike mogu opisati procesi u fizičkom svijetu. U tzv. Ahmesovom papirusu, najopširnijem izvoru naših znanja o egipatskoj matematici, čiji original je nastao između 2000. i 1800. p.n.e., a njegov izdavač Ahmes prepisao i na njemu se potpisao oko 1650. godine, on u predgovoru kaže da će u njemu [papirusu] predstaviti ”pravila za potanko ispitivanje svega što postoji, svake misterije, svake tajne”. Preko Pitagore i Platona hiljadu i trista, i Galileia tri i po hiljade godina kasnije, to stanovište je postalo svojinom moderne nauke.

Vavilonski pisari su prvi koji su pokazali kako se to radi. Tokom hiljadu godina, od drugog stoljeća p.n.e. pa do prvog stoljeća nove ere, iz generacije u generaciju, skupljali su podatke o svojim posmatranjima. Zabilježili su oko 350 hiljada astronomskih podataka i matemataički povezali te ekperimentalno ustanovljene činjenice, što njihova posmatranja čini najdužim velikim eksperimetnom u istoriji nauke. Zahvaljujući dugom intervalu posmatranja i matemtičkoj obradi podataka, Vavilonski pisari bili su u stanju i da pouzdano predviđaju buduće položaje nebeskih tijela. Nedavno je otkrivena fascinantna činjenica da su putanju koju prolazi Jupiter predstavili u ravni i njenu dužinu izračunali kao površinu ispod krive u nekoj vrsti koordinatnog sistema u kojem je apcisa predstavljala vrijeme, a ordinata brzinu kretanja Jupitera kako su je oni procijenili. Evropski učeni ljudi postali su svjesni činjenica da je površina ispod ovakve krive jednaka pređenom putu, tek pri kraju srednjeg vijeka, počev od Nicole Oresmea (ca 1320-1382).

Usporedba dostignuća egipatske i vavilonske matematike

Vavilonski pisari bili su pravi matematički velikani. U vrijeme kad je pisan Ahmesov papirus, ne samo što su vladali matematičkim znanjima znatno višeg nivoa od znanja njihovih egipatskih kolega, već su ta znanja po svom karakteru često pripadala istorijskim epohama koje će nastupiti nekoliko hiljada godina kanije.

Antički Egipćani su razvili tri decimalna sistema numeracije, koji su pratili razvoj njihovog jezika. Nijedan nije bio pozicioni i nijedan nije imao oznaku za nulu. Svaka decimalna jedinica imala je svoju oznaku, pa su brojevi pisani slično tome kako su ih pisali Rimljani, ali s desna u lijevo. Pravila za množenje nijesu postojala, jer sistem numeracije nije bio pozicioni, pa se rezultat množenja i dijeljenja nalazio sabiranjem.

Sistem numeracije u Vavilonu je bio pozicioni, analogan onome koji mi danas koristimo. To je bilo revolucionarno dostignuće u odnosu na prethodnu istorijsku epohu. Ali i u odnosu na naredne dvije, grčku i rimsku.

Razlog što superiornu pozicionu vavilonsku numeraciju nijesu preuzeli antički Grci, po svoj prilici leži u tome što su Vavilonci koristili sistem numeracije u odnosu na osnovu 60. Za seksagezimalni (lat. seksagezimus=60) pozicioni sistem numeracije potrebne su oznake za prvih 60 brojeva, počinjući od broja nula. Ako iskoristimo na trenutak naše savremene oznake za za te brojeve, onda bi u seksagezimalnom sistemu bilo 11 = 1 · 60 + 1, a 43; 35; 6 = 43 · 602 + 35 · 60 + 6 · 1. Vavilonci su, međutim, koristili samo dva osnovna simbola za pisanje brojeva od 1 do 59, oznaku za 1 i oznaku za 10. Onda bi, na primjer, trideset pet napisali tako što bi ponovili oznaku za deset tri puta, a oznaku za 1 pet puta. To je antičkim Grcima izgledalo nedovoljno savršeno (što je tačno), pa će do pojave desetnog pozicionog sistema u Indiji koji danas koristimo proći dva i po milenijuma.

Imali su i simbol analogan našem decimalnom zarezu, kojim su cijeli dio broja odvajali od seksagezimalniih djelova; prva cifra iza seksagezimalnog zareza davala je broj 60-tih djelova jedinice, druga broj (60 · 60) = 3600 - tih djelova jedinice, i td. Pozicioni sistem računanja omogućio je Vaviloncima da računaju s istom lakoćom i po istim pravilima kao mi danas, kako sa cijelim tako i sa razlomcima.

Ne znamo tačno šta je razlog što su Vavilonci izabrali broj 60 za bazu u svom sistemu numeracije. Da li je do toga došlo tokom razvoja jezika kombinacijom ranije korišćenih aditivnih sistema u odnosu na osnove šest i deset, ili zbog toga što je sistem sa bazom 60 pogodniji u metrologiji (mjerenju). Ta pogodnost ima dva aspekta. Prvo, mnogo je veći broj razlomaka koji imaju konačan seksagezimalni razvoj, nego razlomaka koji imaju konačan decimalni razvoj. Na primjer, od prvih deset razlomaka oblika 1/n u seksagezimalnom sistemu jedino razvoj za 1/7 ima beskonačno mnogo seksagezimala, dok u desetnom sistemu beskonačno decimala imaju 1/3, 1/6, 1/7, 1/9. Drugo, za razlomke koji imaju beskonačan seksagezimalni razvoj (takvi su oni razlomci čiji imenilac ima prosti faktor različit od 2,3,5), aproksimacija seksagezimalnim razlomkom tačnija je od decimalne aproksimacije sa istim brojem cifara iza zareza jer stepeni od 60 mnogo brže rastu od stepena od 10. Ovo seksagezimalni sistem, gledano iz ugla matematike, čini superiornijim od decimalnog, jer je ovaj posljednji motivisan čovjekovim anatomskim karakteristikama. Vavilonski pisari su i u algebri bili mnogo superiorniji od egipatskih pisara. Vršili su transformaciju jednačine kao i moderni algebričari, dodavali su i oduzimali iste veličine objema stranama jednačine (umjesto da rezonuju o umanjeniku i umanjiocu), množili su obje strane jednačine da bi eliminisali razlomke, dijelili da bi eliminisali zajedničke faktore. Dodajući 4ab kvadratu (a− b)2 dobijali su kvadrat (a+b)2, znali su za faktorizaciju algebarskih izraza.

Ni oni nijesu koristili slovo za nepoznatu, već su nepoznate označavali riječima dužina, širina, površina, zapremina. Međutim, ove riječi korišćene su kao sinonimi za nepoznate, kao što mi danas koristimo x i y. To se vidi iz primjera u kojima se zadatak odnosi na zbir ”dužine” i ”površine” i slično, čega nema ni kod antičkih Egipćana ni kod antičkih Grka koji su izvodili računske operacije samo nad tzv. veličinama iste vrste. (Kod Grka nije bilo dopušteno ni množenje veličina iste vrste ako je rezultat imao dimenziju veću od tri; na primjer, površina puta površina.)

Dok egipatski pisari objašnjavaju u svojim tekstovima kako se rješavaju linearne jednačine, vavilonski daju samo rezultat bez uputstva jer su ove jednačine smatrali trivijalnim i počinju sa dvije jednačine sa dvije nepoznate. Na jednoj glinenoj pločici stoji zadatak: Koliko je vremena potrebno da bi se jedna količina novca dvaput uvećala, ako je kamata 20% godišnje? Odavde vidimo da su koristili procentni račun i da nijesu jeftino pozajmljivali novac. Vavilonci su znali za algoritam za izračunavanje kvadratnog korijena s proizvoljnom tačnošću, a Egipćani nijesu. Radi se o aproksimacijama √1 + x = 1 + ax + bx2 + · · · polinomima rastućeg stepena (algebarsko nalaženje članova binomnog reda). Zahvaljujući tome što stepeni od 60 brzo rastu, poslije malog broja koraka dobijali su racionalnu aprokismaciju kvadratnog korijena koja ima veliku tačnost. Na primjer, za √2 u jednom računu se uzima se 1; 24, 51, 10 = 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1, 41421310, što je najprecizija vrijednost koju je koristila bilo koja civilizacija prije Renesanse. (Greška je manja od 0,000001).

Kvadratne jednačine su prevazilazile mogućnosti egipatske matematike. Međutim, Vavilonci su o ovim jednačinama znali sve što se danas uči u gimnaziji. Pomoću Vieteovih pravila sistem jednačina x+y=a, xy=b, svodili su na kvadratnu jednačinu. Bikvadratnu jednačinu svodili su na kvadratnu zamjenjujući kvadrat od x sa y. Transformacije koje su koristili pri rješavanju nekih kubnih jednačina su značajan korak u razvoju algebarskih ideja. U savremenom simbolizmu te transformacije su jednostavne, ali koristiti ih na nivou kad još nije bilo simbolične algebre je značajan korak ka uvođenju simbola u alge- bru. (Grci će ovaj manir početi da preuzimaju tek u vrijeme kasne aleksandrijske ere, tri hiljade godina kasnije od vavilonskih pisara.

Vavilonski pisari znali su formulu za zbir aritmetičke i formulu za zbir geometrijske progresije, tako da su znali da je 1 + 2 + 3 +... + n=n(n+1)/2. Znali su i da se suma kvadrata prvih n brojeva svodi na izračuvanje sume prvih n brojeva. Egipatski pisari osvojili su početna geometrijska znanja. Harpedonopta (”onaj koji razvlači konopce”) je konstruisao pravougle trouglove pomoću kanapa na kojem su bili svezani čvorovi na tačno određenim razmacima (Pitagorine trojke), ali ni u kojem papirusu nema nijednog zadatka u kojem se primjenjuje Pitagorina teorema. Nema ni zadataka ni u kojima se koristi teorema o sličnim trouglovima (da trouglovi sa jednakim uglovima imaju proporcionalne stranice).

Egipatski pisari znali su da izračunaju površinu paralelograma i površinu trougla. U jednom zadatku Ahmes izračunava površinu jednakokrakog trapeza čije su baze 6 i 4 a visina 20. Zapreminu prave prizme i valjka egipatski pisari su računali po formuli V = Bh, gdje je B površina baze a h visina ovih figura. Izgleda da su znali i za formulu V = Bh/3 za zapreminu četvorostrane piramide. Od 1900. godine znamo da nije moguće dati elementarni dokaz ove formule, tj. dokaz u kojem se ne koristi teorija graničnih vrijednosti, već samo geometrijske teoreme podudarnosti. Budući da se ova formula može prilično lako ustanoviti eksperimentom - mjerenjem (nalivanjem tečnosti iz piramide u prizmu iste osnovice i iste visine), smatra se da su ovu formulu baš tako otkrili. Zasnovano možemo pretpostaviti da je onaj koji je mjerenje sproveo za kavadrat, došao do zaključka (ili izmjerio) da formula važi i kad je baza B trougao, a onda zaključio da važi i kad je baza B proizvoljni mnogougao (jer se mnogougao može razbiti na trouglove); na kraju, da važi i za pravu kupu. I u geometriji, vavilonski pisari znali su više od svojih kolega u Egiptu. Egipatski pisari su površinu kruga izračunvali po formuli A = (8/9d)2, gdje je d dijametar kruga. Ovu formulu su dobili aproksirajući krug jednim osmouglom.

Vavilonski pisari su otišli mnogo dalje. Znali su za broj P za formule A = Pr2 i O = 2Pr za površinu i obim kruga, što znači da su, na intuitivnom nivou, zamišljali granični proces u kojem se krug iscrpljuje nizom upisanih (ili opisanih) pravilnih mnogouglova. Vavilonski pisari koristili su i Pitagorinu teoremu barem 1300 godina prije Pitagore.

Završimo s jednom pločicom koja je proslavila vavilonske pisare. U tzv. Plimptonovoj kolekciji Univerziteta u Kolumbiji (George Arthur Plimpton je 1923. godine kupio ovu kolekciju pločica i poklonio Univerzitetu u Kolumbiji), na pločici br. 322, poznata kao Plimpton 322, nalazi se tabela brojeva poređenih u 15 redova i tri kolone (plus četvrta koja numeriše redosljed redova), za koju se dugo mislilo da se odnosi na spisak nekih kućnih potreba. Neugebauer i Sachs su 1945. otkrili da su brojevi u drugoj i trećoj koloni cijeli i da u 13 redaka (od ukupno 15), brojevi b i c koji stoje u drugoj i trećoj koloni istog retka, imaju svojstvo da je c2 - b2 kvadrat a2 nekog cijelog broja a; tj. da svaki redak daje jednu Pitagorinu trojku a, b, c. Pitagorine trojke su relativno rijetke. Na primjer, od prvih 12 cijelih brojeva može se napraviti 123 trojki, ali je samo jedna među njima je Pitagorina: 3, 4, 5. Kad se svih 13 redaka kompletiraju dobije se niz Pitagorinih trojki sa relativno velikim a, b, c, kao što je trojka 6649, 4601, 4800. Vjerovatnoća da čovjek pogađanjem odredi ovako visoke Pitagorine trojke je zanemarljiva. To je značilo da je sastavljač tabele znao neku pravilnost za nalaženje Pitagorinih trojki.

Od tada je Plimpton 322 predmet pažnje niza matematičara koji su pokušali da odgonetnu njegovu tajnu. Creighton Buck je u članku Sherlock Holms u Vavilonu (1980) to ubjedljivo učinio i sada pouzdano znamo sljedeće. Pločica je pisana oko 1600 p.n.e. Pisar je sastavljao tabelu po formulama, u dva reda je pogriješio u primjeni formula. Sve trojke u svih 15 redova su primitivne Pitagorine trojke, tj. a, b, c su relativno i važi a2 + b2 = c2. Sastavljač tabele je vidio da a = p2 −- q2, b = 2pq, c = p2 + q2 zadovoljavaju ovaj uslov. Antički Grci su milenijum i po docnije dokazali da su ovim formulama sa p i q relativno prostim i p > q, data sva cjelobrojna rješenja jednačine a2 + b2 = c2. Ovaj pisar je generisao relativno proste brojeve p i q praveći razne proizvode brojeva 2, 3 i 5. Ako je svjesno težio tome da p i q budu relativno prosti, teško je vjerovati da je znao da će i tako dobiti sva rješenja. Vjerovatnije je da je tako birao zbog toga što je u prvoj koloni računao kvadrat (a/b)2, pa je htio odmah da obezbijedi da je izvršio sva skraćivanja.

Postavlja se pitanje čemu je služila prva kolona? Da li su vrijednosti (b/a)2 bile od koristi pisaru pri nekom izračunavanju koje još nijesmo prozreli, pa ih je zbog toga stavio u tabelu? Radoznalost pojačava činjenica da se oštar ugao pravouglog trougla sa stranicama a, b, c iz tabele kreće od 450 do 300 sa korakom od približno 10. Postavlja se pitanje kako je pisar to ostvario, ako nije vladao trigonometrijom.

Pomenimo da je Eleanora Robinson u knjizi Matematika u antičkom Iraku, pokazala da je pločica Plimpton 322 pisana kao materijal za studente. Mi zaključujemo članak s divljenjem prema vavilonskom pisaru za prvi netrivijalni zadatak iz teorije brojeva.

Vavilonski lunarni kalendar koristili su Jevreji, Grci i Rimljani

Oslobodivši od astroloških hipoteza i religijskih predubjeđenja koja su prisutna u razmatranjima vavilonskih pisara, nastala je grčka matematička astronomija iz koje je izvedena i naša današnja.

Vavilonski pisari usvojili su kalendar koji je bio lunarni i ustanovili da je solarna godina jednaka 12 + 22/60 + 8/3600 lunarnih mjeseci, (1 lunarni mjesec = vrijeme od jednog do drugog mladog mjeseca). Poznavali su i zvjezdanu godinu (vrijeme koje je potrebno Suncu da zauzme isti položaj u odnosu na zvijezde), s tačnošću do četiri i po minute. Znali su da je 235 lunarnih mjeseci jednako 19 sunčevih godina. Vavilonski lunarni kalendar koristili su Jevreji, Grci i Rimljani sve dok Julije Cezar nije u Rimskom carstvu uveo reformisani egipatski kalendar.

Vavilonski pisari su vjerovali da karakter i sudbina pojedinca zavisi od rasporeda nebeskih tijela pri njegovom rođenju. Izdijelili su nebo u dvanaest jednakih djelova, koji odgovaraju lunarnim mjesecima i dali im nazive po nebeskim konstelacijama. Na osnovu statističkih podataka koje su napravili o raznim ljudima i astroloških spekulacija, nastao je horoskop koji se sreta u savremenoj štampi.

( Miodrag Perović )