Matematika se više od 2200 godina razvijala u okviru koji joj je odredio Euklid u Elementima. Dvije matematičke teorije izvele su je iz tog okvira, Kantorova teorija skupova i neeuklidska geometrija. O neeuklidskoj geometriji govorićemo drugom prilikom.
Stanovište formirano u petom stoljeću p.n.e. da poimanje aktuelne beskonačnosti prevazilazi mogućnosti ljudskog mišljenja, matematičari i filozofi nijesu osporavali sve do sredine devetnaestog stoljeća. Podrazumijevalo se da su geometrijske figure beskonačni skupovi, u smislu da koliko god uzmemo tačaka neke prave, postoji tačka te prave koja je od nje različita (potencijalna beskonačnost). Galilej je 1638. primijetio da između skupa prirodnih brojeva i skupa njihovih kvadrata postoji biunivoka korespondencija i kaze da je to u suprotnosti sa jednom od Euklidovih aksioma koja utvrduje da je cijelo veće od sopstvenog dijela. Na slične primjere biunivoke korespondencije između beskonačnog skupa i njegovog sopstvenog dijela ukazali su prije Galileja, u antici Proklo i Plutarh, i u srednjem vijeku neki skolastičari. Češki matematičar Bernard Bolzano (1781 - 1848) u posthumno objavljenoj filozofski orjentisanoj knjizi Pardoksi beskonačnosti (1851) zalaže se za prihvatanje egzistencije beskonačnih skupova u formi aktuelne beskonačnosti i ističe da je egzistencija bijekcije skupa na njegov pravi podskup - svojstvo koje nemaju konačni, ali imaju (aktualno) beskonačni skupovi.
Švajcarski matematičar Georg Kantor (Cantor) (1845-1918) je prvi matematičar u istoriji koji je počeo sistematski da izučava aktuelnu beskonačnost. Nakon slučajnog susreta sa njemačkim matematičarem Rihardom (Richardom) Dedekindom (1813-1916) u Švajcarskoj u ljeto 1872. godine, gdje je bio došao na odmor, i podrške koju mu je stariji i već afirmisani Dedekind dao, posvetio se izučavanju beskonačnih skupova brojeva, tj. pravljenju matematike uz preetpostavku da važi aksioma aktualne beskonačnosti, koja je od antičkih vremena odbacivana. To je bila prva matematička teorija koja je izašla iz okvira koji su predviđali Elementi. Kantor i Dedekind su o toj temi vodili aktivnu prepisku koja je rijetko pouzdan istorijski izvor razvoja neke matematičke ideje.
Polazeći od skupa prirodnih brojeva kao zadatog totaliteta (aksioma beskonačnosti), Kantor i Dedekind su dali po jednu aritmetičku konstrukciju skupa realnih brojeva kao totaliteta, čega nije bilo kod antičkih Grka i zbog čega su pitagorejci izvršili geometrizaciju matematike. Kantor je ustanovio i čitav niz novih matematičkih fenomena koji slijede iz pretpostavke da (aktualna) beskonačnost postoji. Prvo, dao je definiciju jednakobrojnosti skupova i definiciju beskonačnog skupa: Za dva skupa kaže se da su ekvipotentna (imaju istu moć) ako se između njih može uspostaviti biunivoka korespondencija (danas kažemo bijektivno preslikavanje ili bijekcija); klasa skupova koji imaju istu moć naziva se kardinalnim brojem (svakog od njih); skup je beskonačan ako ima istu moć kao i neki njegov pravi podskup. Primjeri kao onaj Galilejev dokazuju da je skup prirodnih brojeva beskonačan.
Kantor je ustanovio da postoji hijerarhija beskonačnih skupova analogna relaciji poretka u skupu prirodnih brojeva. Ako zamislimo tzv. Hilbertov hotel koji ima beskonacno mnogo soba koje su oznacene brojevima 1, 2, 3,... , onda taj hotel ima nekoliko neobičnih svojstava. Na primjer, u njemu se i kad je pun može osloboditi soba za novopridošlog gosta, nakon čega je svaki gost i dalje sam u sobi. Gosti koji su popunili hotel svi se pomjere po sljedećem pravilu: gost iz sobe koja nosi oznaku n prede u sobu koja nosi oznaku n + 1. Tako se soba koja nosi oznaku 1 oslobodi za novog gosta. Međutim, u Hilbertov hotel ne mogu se smjestiti svi realni brojevi. Dovoljno je to dokazati za realne brojeve koji su veći od 0 a manji od 1. Kantorov dokaz je svođenjem na apsurd: pretpostavimo da su ovi brojevi smješteni u Hilbertov hotel tako da se svaki od njih nalazi u po jednoj sobi. Onda je decimalni broj koji ima 0 cijelih, prvu decimalu različitu od prve decimale broja u sobi br. 1, drugu decimalu razlicitu od druge decimale broja u sobi br. 2, itd., različit od svih brojeva koji se nalaze u Hilbertovom hotelu. S druge strane, pošto je veći od nule a manji od 1, po pretpostavci bi morao biti u hotelu. Dobijena kontradikcija znači da je pretpostavka da svih realnih brojeva koji leže između 0 i 1 ima koliko i soba u Hilbertovom hotelu - pogrešna.
Za skup se kaže da je prebrojiv ako se njegovi elementi mogu smjestiti u Hilbertov hotel tako da u svakoj sobi bude po samo jedan broj. Termin je uveo Kantor koristeći jezik kardinalnih brojeva - skup je prebrojiv ako se može bijektivno preslikati na skup prirodnih brojeva, odnosno ako ima isti kardinalni broj kao i skup prirodnih brojeva. Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva ćemo u ovom članku označavati sa c0. Prethodno razmatranje o realnim brojevima znači da je kardinalni broj skupa realnih brojeva, koji se naziva i kardinalni broj kontinuuma i označava sa c, veći od kardinalnog broja skupa prirodnih brojeva c0, odnosno da je skup realnih brojeva neprebrojiv.
Kad je 1873. otkrio neprebrojivost skupa realnih brojeva, Kantor je je produžio da pravi hijerarhizaciju ostalih beskonačnih skupova brojeva. Dokazao je da su skupovi racionalih i algebarskih brojeva prebrojivi, ali da skupovi iracionalnih i transcendentnih brojeva imaju isti kardinalni broj kao i cio skup realnih brojeva. Ovo posljednje znači da su gotovo svi brojevi racionalni i to transcendentni, suprotno intuiciji koja govori da se oni rjeđe pojavljuju nego racionalni brojevi. Dokazao je da za svaki skup postoji skup koji je od njega moćniji (na primjer, skup svih podskupova toga skupa) i da zato ne postoji najveći kardinalni broj, analogno činjenici da ne postoji najveći prirodni ili najveći realni broj. Kantor je vjerovao da ne postoji skup brojeva čiji bi kardinalni broj ležao između c0 i c (hipoteza kontinuuma, 1878). Osamdeset godina kasnije, američki matematičar Paul Koen (Cohen) (1934-2007) dokazao je da se kontinuum hipoteza ne može ni dokazati ni opovrgnuti u okviru klasične matamatike. Naime, kontinuum hipoteza je nezavisna od ostalih aksioma matematike (aksioma teorije skupova), tako da postoje dvije matematike.
Jedna u kojoj se hipoteza kontinuuma uzme za aksiomu, druga, u kojoj se za aksiomu uzme njena negacija.
Vidim, a ne vjerujem
Kantorova hijerarhizacija beskonačnih skupova i konstrukcije sa beskonačnim skupovima bila je najvećom do tada (ali i do danas) apstrakcijom koju je napravio ljudski um, čiju složenost su antički Grci naslutili i zbog toga odbacili aktualnu beskonačnost. Koliko su Kantorovi rezultati bili novi i neočekivani govori sljedeći detalj iz istorije matematike. Kantor je svoje "neobične" dokaze slao Dedekindu na čitanje i provjeru. U pismu od 5. januara 1874. Kantor piše Dedekindu da je okupiran pitanjem da li se površ, na primjer kvadrat, može staviti u biunivoku korespondenciju s nekom krivom, na primjer, sa intervalom. Tri godine docnije - šalje Dedekindu dokaz da postoji bijekcija između intervala [0,1] i kvadrata [0,1] [0,1]. Dedekind mu 22. juna ukazuje na nepreciznost u njegovom dokazu. Tri dana docnije, 25. juna, Kantor šalje dopunjeni dokaz. Pošto mu Dedekind nije odmah odgovorio, Kantor 29. juna piše da sa nestrpljenjem čeka Dedekindovo mišljenje o tačnosti njegovog dokaza, opisujući svoj emocionalni odnos prema novom saznanju riječima: "Je le vois mais je le ne crois pas" (Vidim a ne vjerujem). Da bi podvukao silinu svog uzbuđenja ovu frazu je napisao na francuskom, u pismu koje je pisano na njemačkom jeziku. Dedekind u svom pismu od 2. jula 1877. smireno piše Kantoru da je dokaz tačan. Pet godina kasnije, 1878. godine, Kantor je ustanovio da postoji bijekcija između intervala [0,1] i trodimenzionalnog prostora. Drugim riječima, da u cijelom trodimenzionalnom prostoru ima isto toliko tačaka koliko i na samo jednoj duži koja leži u tom prostoru.
Raj iz kojeg nas niko ne može istjerati
Ovaj rezultat toliko je protivuriječio standardnoj intuiciji da su mnogi matematičari neprijateljski dočekali to Kantorovo otkriće. Di Bua Rejmon (Du Bois-Reymond) je 1882. kritikovao Kantorov dokaz kao "idealistički izum", a uticajni Leopold Kroneker (Kronecker) (1823-1891) je odbacio čitavu teoriju beskonačnih skupova. On nije priznavao nikakve konstrukcije u matematici koje imaju beskonačno mnogo koraka, pa je čak odbacio i konstrukcije realnih brojeva koje su se pojavile 1870-tih. Kronecker se okomio na Kantora toliko da je, po nekim izvorima, uticao i da mu se ne da mjesto na Berlinskom univerzitetu, tako da je do kraja života ostao na univerzitetu u Haleu.
Kantor je energično branio novu teoriju, govoreći da "suština matematike leži u njenoj slobodi" i da aktualnu beskonačnost ne treba odbacivati. Međutim, budući preosjetljiv po prirodi, zapao je 1884. u nervnu slabost od koje se nije oporavio do kraja života, iako se 1887. povratio radu. Kroneker je umro 1891, ali njegovi napadi ostavili su duboku sjenku i sumnju u vrijednost Kantorovih dostignuća. Kantorovu teoriju branili su mnogi krupni matematičari koji su stvarali krajem devetnaestog stoljeća i primjenjivali Kantorove rezultate. Za jedan dokaz iz 1890. u kojem je Hilbert koristio Kantorove rezultate, njemački matematičar Paul Gordan (1837-1912) je rekao: "To nije matematika, već teologija." Hilbert je branio Kantorovu teoriju riječima: "Niko nas ne može istjerati iz raja koji je Kantor za nas stvorio".
Na drugom Međunarodnom kongresu matematičara u Parizu 1900. Hilbert je dao značaj Kantorovoj teoriji skupova stavljajući hipotezu kontinuuma na prvo mjesto na spisku problema za koje je mislio da će označiti matematiku dvadesetog vijeka. Kako je postepeno preovladavalo mišljenje da matematiku treba zasnivati kao aksiomatsku teoriju skupova (sa aksiomom beskonačnosti kao jednom od aksioma te teorije), Kantorovi rezultati sve više su dobijali na značaju, a Kantor sve više smatran jednim od najznačajnijih matematičara druge polovine devetnaestog stoljeća. Royal Society (Britanska akademija nauka), dodijelila mu je 1904. Sylvesterovu medalju, najviše priznanje koje ona može dati matematičaru.
Neprekidna simfonija o beskonačnosti
Kad je Zermelo 1908. napravio prvi sistem aksioma teorije skupova u njemu se nalazila i aksioma beskonačnosti. Matematika je uprkos svim protivljenjima postala neprekidna simfonija o beskonačnosti. Kantor je dočekao pravedan istorijski sud i priznanje za svoj doprinos razvoju matematike, ali je, ipak, 1918. godine umro u mentalnoj klinici u Halleu.
Prihvatanje aksiome beskonačnosti promijenilo je pogled na matematiku. Savremena fizika smatra da je sve u kosmosu konačno po broju: broj nebeskih tijela, broj atoma, broj elementarnih čestica. To onda znači da je aksioma beskonačnosti neprovjerljiva - u realnom svijetu ne može se napraviti model za nju. Zato matematičari kažu da će matematika biti posljednja metafizika: nauka će objasniti mnoge stvari o kojima filozofi vode raspravu i prave spekulacije, ali efektivnu provjerljivost tačnosti aksiome beskonačnosti i matematičkih rezultata iz kojih se primjena te aksiome ne može isključiti, nauka ne može obezbijediti.
Osvrnimo sa, na kraju, na odnos Zenonovog paradoksa i aksiome beskonačnosti. Kad se prihvati aksioma beskonačnosti, onda nestaju Zenonovi paradoksi Ahil i Dihotomija. Prihvatanje aktuelne beskonačnosti osamostaljuje matematiku u odnosu na realni svijet i čovjeka. Suma reda a1 + a2 +... postoji nezavisno od vremena, odnosno postoji izvan vremena. U primjenama u fizici proces dijeljenja cijelog na djelove može se završiti i sumiranje djelova obavlja se u jednom trenutku, odnosno, te dvije radnje lišene su vremenskog faktora. Izračunavanje granične vrijednosti t = t1 + t2 +... u matematičkom modelu Ahilovog i kornjačinog kretanja, u savremenoj matematici nije proces u vremenu, već, prosto, matematička operacija koja daje vrijeme t kad Ahil sustiže kornjaču. Stoga prihvatanjem aktuelne beskonačnosti u matematici, u savremenoj fizici (prirodnoj filozofiji) Zenonovi paradoksi Ahil i Dihotomija ne postoje.
Intuicionisti odbijaju da prihvate aktualnu beskonačnost
Svi savremeni matematičari nijesu se pomirili s uključivanjem aksiome beskonačnosti u sistem aksioma matamatike.
Savremeni Elejci, tj. protivnici aksiome beskonačnosti su početkom dvadesetog stoljeća razvili filozofski pravac u zasnivanju matematike pod nazivom intuicionizam, koji odbacuje aktualnu beskonačnost.
Intuicionisti odbijaju da prihvate aktualnu beskonačnost da ne bi bila moguća konstrukcija "neprirodno" velikih beskonačnosti, ali nijesu restriktivni u tumačenju limesa kao antički Grci, već kažu da je t = t0 + t1 + t2 +... trenutak kad će Ahil stići kornjaču.
U intuicionističkoj matematici nije moguće konstruisati ni čitav skup realnih brojeva niti dokazati niz vaznih rezultata matematičke analize. Stoga matematičari na intuicionizam gledaju samo kao na priču koja pomaže da se razjasne temelji matematike.
Bonus video:
