Sa ulogom koju je Pitagora dao broju kao temelju ljudskog znanja, za bavljenje filozofijom bilo je neophodno znanje o brojevima. Pitagora je izveo termin matematika iz termina matema koji je značio prethodno znanje, odnosno ono što prethodi znanju. Tako je razvoj filozofije za Pitagoru bio usko povezan sa razvojem matematike. Pitagorejci (Arhita) su kasnije predvidjeli četiri matemata kao osnov učenosti (kao predmete obaveznog opšteg obrazovanja): aritmetika (ono što danas spada u aritmetiku i elementarnu teoriju brojeva), geometrija, harmonija (muzika) i astronomija. U latinskom srednjem vijeku ove četiri discipline dobile su naziv kvadrivijum, sa donekle promijenjenim sadržajem termina.
Aritmetika je kod pitagorejaca bila više ono što mi danas zovemo teorija brojeva, a termin muzika imao je šire značenje od današnjeg, nešto kao teorija harmonije.
Uz kvadrivijum Grci su kasnije dodali trivijum (termin takođe latinski) koji čine gramatika, retorika i dijalektika. Aristotel ga pripisuje Zenonu iz Eleje. Sedam disciplina kvadrivijuma i trivijuma prihvaćene su u srednjem vijeku kao obavezno univerzitetsko obrazovanje.
Pafnutius (autor: Hrosvita iz Hildesheima, monahinja iz benediktinskog reda, X vijek) učenik: šta je muzika? pafnutius: To je disciplina iz kvadrivijuma filozofije. učenik: šta je to što ti nazivaš kvadrivijumom? pafnutius: Aritmetika, geometrija, muzika, astronomija. učenik: Zašto kvadrivijum? pafnutius: Jer od staze ili četvorostrukog puta, od ove staze i od ovih principa prostire se stvarni napredak filozofskih principa.
Božanstvena proporcija
Pitagorejci su vjerovali da se aritmetika može učiniti i fundamentom u izučavanju estetike. Tako su podjeli duži a na odsjećke x i a?x za koje važi a : x = x : (a?x), koja se javlja kao korak pri konstrukciji njihovog simbola za prepoznavanje - pravilne petokrake, pripisali estetsku vrijednost. Odsječak x naziva se zlatnim presjekom od a a odnos a/x zlatnim odnosom, od kad je Kepler dvadeset stoljeća docnije dokazao da količnik narednog i prethodnog člana Fibonaccievog niza teži zlatnom odnosu fi = a=x = x=(a ? x) i lirski napisao: "Geometrija ima dvije dragocjenosti: jedna je Pitagorina teorema, druga je podjela duži u krajnjem i srednjem odnosu. Prvu možemo uporediti sa mjerom zlata, drugu sa dragocjenim draguljom."
Lako se nalazi da je fi = a=x = (p5+1)=2 = 1:6180339887::: :. (Približna izračunavanja pitagorejci su, vjerovatno, obavljali u seksagezimalnom sistemu.) Još od vremena pitagorejaca smatrano je da objekti čije dimenzije stoje u zlatnom odnosu izazivaju osjećaj harmonije i estetski ugođaj. Stranice nekih pravougaonih prostorija kod Fidije stoje u odnosu bliskom zlatnom odnosu fi. U drugoj polovini petnaestog stoljeća Luca Pacioli je zlatni odnos nazvao božanstvenom proporcijom i posvetio mu traktat De Divina proportione. Zlatni odnos se pojavljuje u konstrukcijama pravilnih poliedara. Leonardo da Vinci je o zlatnom presjeku naučio iz Paciolija i u svojim ilustracijama pravilnih poliedara koristio zlatni odnos. Takođe je čovjeka raširenih ruku smjestio u krug tako da ekstremne tačke tijela dodiruju krug u tjemenima pravilnog petougla, sugerišući na taj način da najljepši izgled ima tijelo čiji djelovi stoje u zlatnom odnosu. Od tada se zlatni presjek i zlatni odnos često sretaju u umjetnosti. U naknadnim istraživanjima koja su sprovedena u našem vremenu nađeno je da se zlatni odnos pojavljuje u arhitekturi i prije i poslije Paciolia i Leonarda. U konstrukciji Velike džamije u Kairouanu (670 n.e.) zlatni odnos je korišćen sistematski. Poznati švajcarski arhitekta Le Corbusier (1887 - 1965) centrirao je svoju filozofiju dizajna na sistemu harmonije i proporcije: "Oni [zlatni odnos i Fibonacciev niz] odzvanjaju u čovjeku organskom neizbježnošću, ista ona fina neizbježnost koja je razlog za traganje za zlatnim presjekom od strane djece, starih ljudi, divljih i učenih." Le Corbusierov sljedbenik, švajcarski arhitekta Mario Botta primjenjivao je geometrijske forme u svojoj arhitekturi kuća sa zlatnim odnosom između dimenzija centralnog i krilnih djelova kuće. Salvador Dali je uzeo dimenzije platna za svoje remek djelo Posljednja pričest da stoje u zlatnom presjeku. I u nizu muzičkih djela tonovi koji se nižu stoje približno u zlatnom odosu fi ili 1=fi. Na primjer, Bartokova Muzika za strune ima ksilofonsku progresiju koja ide u intervalima 1 : 2 : 3 : 5 : 8 : 5 : 3 : 2 : 1 penjući se do 8 : 5 fi fi, a u Debussyevim Reeksijama u vodi intervali stoje u nizu 34, 21, 13 i 8 sa 34 : 21 fi 21 : 13 fi 13 : 8 fi fi.
Čak su i biolozi izmjerili da se u najljepšim prirodnim dizajnima pojavljuje zlatni odnos.
Kod Pitagore i pitagorejaca prisutna je neka vrsta mističnog uvjerenja u moć brojeva.
Kopernik je rekao da je ideju o sistemu koji danas nazivamo kopernikanskim formirao pod Pitagorinim uticajem (bez obzira što su pitagorejci u svojoj astronomiji spekulisali sa brojevima). Astronom Oenopid(es) je oko 450. p.n.e. našao da je vrijednost velike godine - najmanjeg intervala vremena koji je jednak cijelom broju godina i cijelom broju mjeseci jednaka 730 mjeseci. Filolaj je unio popravku iz pitagorejskih razloga: Nije 730 već 729 mjeseci, jer 729 je kvadrat od 27, a 27 je kod pitagorejaca bio mjesečev broj (približna vrijednost mjesećevog ciklusa). U Filolajevo vrijeme bilo je poznato 5 planeta. On je govorio da bi moralo da ih bude 10 jer je 10 broj univerzuma.
Mistični odnos pitagorejaca prema brojevima ilustruje sljedeći citat iz Uvoda u aritmetiku neopitagorejca Nikomaha iz Gerase (ca 60-ca 120) (pamiti se po tome što je dokazao da je zbir kubova prvih n brojeva jednak kvadratu njihovog zbira; (citat se odnosi na obilne, deficijentne i perfektne brojeve, vidi više): "U slučaju da je premnogo, proizveden je višak, površnost, pretjeranost i zloupotreba; u slučaju da je premalo, proizvedena je želja, nedostatak, lišavanje i nedovoljnost. U slučaju onih koji se nalaze između premnogo i premalo, tj. u jednakosti, proizvedena je vrlina, taćna mjera, prikladnost, ljepota i stvari te vrste, od kojih je najuzornija forma onaj tip brojeva koji se nazivaju savršenim." Za obilne brojeve kaže da liće na životinju: "sa deset usta ili devet usana, snabdjevena sa tri reda zuba; ili sa stotinu ruku, ili ima premnogo prstiju na jednoj od svojih ruku [...]".
Deficijentni brojevi su slični životiniji [...] sa jednim okom, ... jednom rukom ili na jednoj od svojih šaka ima manje od pet prstiju, ili nema jezik ... ."
Projekat Sve je broj - kriza u zasnivanju matematike
Projekat sve je broj, gledano iz matematičkog ugla, je istorijski preuranjeni pokušaj aritmetizacije matematike. Riječ broj u Pitagorino vrijeme značila je ono što mi danas zovemo prirodni broj. Budući da je Pitagora matematiku osnovao kao deduktivni sistem, postulat Sve je broj značio je da se sve što se izučava u matematici mora objasniti pomoću pojma broj, a sva tvrđenja dokazati pomoću svojstava brojeva. Na primjer, svaki razlomak m/n se može pretvoriti u cijeli ako se za jedinicu (mjere) uzme 1/n: m/n=m puta 1/n; svaki par razlomaka m/n i p/q može se posmatrati kao par cijelih brojeva, uzimajući za jedinicu mjere 1/nq. Međutim, kad je našao dokaz teoreme koju danas nazivamo Pitagorinom (za koju je, bez sumnje, saznao od svojih učitelja Vavilonaca), projekat Sve je broj doveden je u pitanje. Primjenom te teoreme na stranicu a i dijagonalu d kvadrata dobija se da je d2= a2+a2=2a2. Ako bi postojala jedinica mjere u odnosu na koju su a i d (cijeli) brojevi, onda bi odavde slijedilo da svaki od brojeva a i d ima broj 2 kao faktor koliko god hoćemo puta. Pošto to nije tačno ni za koji prirodan broj, slijedi da a i d ne mogu istovremeno biti cijeli. Drugim riječima: ako je stranica ili dijagonala broj, onda ona druga nije broj.
Pomenimo da je ovo prvi put da se u dedukcciji primjeni dokaz svođenjem na apsurd: iz neke pretpostavke logički se izvodi zaključak da bi moralo važiti nešto za što znamo da ne važi, što znači da je hipoteza pogrešna.
Geometrizacija matematike
Otkrićem nesamjerljivih duži Pitagorin pokušaj aritmetizacije matematike doživio je neuspjeh. Međutim, poslije Pitagore matematičari nijesu odustali od ideje da se matematika razvija kao deduktivni sistem koji počinje od osnovnih pojmova i aksioma. Pošto nijesu bili u stanju da pomoću racionalnih brojeva konstruišu objekte koje danas nazivamo iracionalnim (realnim) brojevima, bili su prinuđeni da dopune polazni skup pojmova i aksioma. Matematičari su u to vrijeme bili filozofi prirode, pa su smatrali da geometrijski objekti egzistiraju u fizičkom svijetu. Geometrijske objekte nazvali su veličinama i pridodali ih brojevima. U geometriji se ne postavlja pitanje egzistencije veličine p 2 čiji kvadrat je jednak 2, - dijagonala kvadrata leži u ravni pred nama. Riješili su da uzmu neke geometrijske pojmove kao osnovne, i aksiome o njima, podrazumijevajući da postoje i (prirodni) brojevi kao nezavisni entiteti sa svojim svojstvima.
Matematičari su se brzo složili da za osnovne geometrijske pojmove treba uzeti tačku, pravu i ravan (prostor). Standardizacija sistema aksioma u geometriji trajala je više od stoljeća i po od Pitagorinog otkrića nesamjerljivih. U konačnom rješenju koje nalazimo u Euklidovim Elementima, za aksiome su uzeta neka očigledna svojstva pravih, ravni i krugova. Geometrijske objekte nazvali su veličinama. Kad su dvije veličine samjerljive, njihov odnos je racionalni broj; kad su nesamjerljive, nazvali su ih iracionanim jedna u odnosu na drugu. Pretpostavljajući da geometrijske veličine zadovaljavaju uslov koji danas nazivamo Arhimedova aksioma, Eudoks je dao postupak za nalaženje racionalnih aproksimacija odnosa nesamjerljivih veličina.
Tako je prva kriza u zasnivanju matematike prevaziđena njenom geometrizacijom. Od sredine četvrtog vijeka prije nove ere, kada je njena geometrizacija uobličena, matematika će se više od 2000 godina razvijati, i doživjeti svoj vrhunac, kao deduktivna geometrija.
Geometrizacija matematike i odsustvo aritmetićke konstrukcije iracionalnih brojeva, izazvalo je metodološke probleme u izlaganju geometrije. Dok su vjerovali da su svake dvije duži samjerljive, za pitagorejce, kao i za Vavilonce, Pitagorina teorema c2=a2+b2 odnosila se na brojeve - dužine stranica pravouglog trougla. Gotovo je izvjesno da su tada imali isti dokaz Pitagorine teoreme koji i danas sprovodimo u srednjoj školi. Nakon što su otkrili egizistenciju nesamjerljivih taj dokaz je izgubio smisao. Pitagorejci su preformulisali teoremu i uspjeli da nađu dokaz u kojem se ne koristi pojam odnosa dvije veličine. Nova formulacija je bila: Kvadrat [konstruisan] nad hipotenuzom pravouglog trougla jednak je sumi kvadrata [konstruisanih] nad katetama. Drugim riječima, relacija c2=a2+b2 koja se u početku odnosila na brojeve a, b, c koji mjere dužine stranica trougla (u odnosu na neku duž koja je izabrana za zajedničku jedinicu mjere), sad se odnosila na kvadrate konstruisane nad stranicama a, b, c.
Vavailonci su površinu kruga izračunavali po formuli A = fir2 i zavisno od željene tačnosti za fi uzimali brojeve 3; 3; 1; 3; 16. Poslije otkrića nesamjerljivih, budući da je bilo nepoznato da li je fi racionalna veličina, fi je izgubio status broja i nije se više moglo pisati A = fir2. Od tada se teorema o površini kruga formuliše u obliku: A(R)=A(r) = R2=r2, gdje R2 i r2 više nijesu brojevi već kvadrati konstruisani nad njihovim poluprečnicima. Algebarska relacija (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 morala se formulisati i dokazivati kao geometrijsko tvrđenje: Kvadrat nad sumom dvije duži jednak je sumi kvadrata nad tim dužima i dvostrukog pravougaonika koji je nad njima razapet.
I metod za rješavanje algebarskih jednačina koji su razvili Vavilonci i Egipćani bio je neprimjenljiv na geometrijske objekte. Zbog egzistencije nesamjerljivih, nije bilo računanja sa geometrijskim objektima kao sa simbolima, već je svaki korak u rezonovanju morao imati geometrijski sadržaj. To je bila prepreka razvoju algebre koja je izazvala milenijumsko zaostajanje u razvoju matematike.
Uticaj projekta Sve je broj u filozofiji i religiji
Kad je otkrićem nesamjerljivih veličina aritmetizacija znanja doživjela neuspjeh, umjesto poistovjećivanja broja s primitivnim elementom, matematika ostaje (samo) ključ za objašnjenje univerzuma. Ovo stanovište je postalo karakteristikom grčke nauke i jednom od najplodotvornijih ideja u istoriji ljudske misli. Platon kaže da bog geometrizira (to jest, svijet je stvaran po matematičkim pravilima), što otkriva da je platonizam inspirisan pitagoreizmom. Drugi aspekt ovoga je Platonov svijet ideja. Kao što su geometrijske prave i krugovi idealni prototipovi nesavršenih objekata koje u stvarnom svijetu nazivamo pravima i krugovima, tako je svijet ideja koji postoji u razumu prototip realnog svijeta. Kao što su matematički objekti savršeni i vječni, tako su i ideje savršene i vječne. Sve što je čulno, prolazno je i manjkavo. Shvatanja o supremaciji razumskog nad čulnim koja su potekla od Pitagore vladaju filozofijom i religijom od njegovog vremena pa do danas.
Uticaj pitagoreizma bio je uzrokom za greške u metafizici i teoriji saznanja. Budući da se matematičko znanje dobija čistim mišljenjem, a spoljni svijet je ustrojen po matematičkim pravilima, antički Grci su razvijali prirodnu filozofiju sa stanovištem o minornom značaju eksperimenta; da intuicija može zamijeniti eksperimentisanje i da je svijet moguće spoznati takođe čistim mišljenjem. Ovo stanovište ih je udaljilo od ideje o prirodnim zakonima i eksperimentu kao osnovnom sredstvu spoznaje.
Helenska nauka nikad nije isključila filozofsku komponentu teorije o spoljnom svijetu.
Ona se ne bavi samo pitanjem kako se odvijaju procesi već istovremeno i pitanjem svrhe egzistencije kosmosa gledano iz ugla pozicije čovjeka u njemu, što neminovno ukljućuje pitanje s kojim ciljem je kosmos stvaran i koje značenje mu je naznačeno. Dakle, fizika i metafizika istovremeno. Nauka i spekulacija, ujedno.
U drugoj polovini prvog stoljeća p.n.e. pojavljuju se neopitagoreizam koji je pokušao da uvede religijske elemente u pagansku filozofiju. Neopitagorejac Nikomah iz Gerase, čija Aritmetika je bila osnovni tekst iz aritmetike više od hiljdu godina, uči da kao što se prirodni brojevi generišu jedinicom, tako je i realni svijet generisan Jednim. Neopitagorejci su sličnim stanovištima uticali na neoplatoniste kao što su pitagorejci uticali na Platona. Neoplatonisti su od neopitagorejaca preuzeli identifikaciju božje realnosti sa Jednim, i stav da svaka druga realnost emanira iz njega - Jednog. Budući da neoplatonizam, zbog njegovog uticaja na hrišćansku dogmu, ima jedan od najistrajnijih uticaja na zapadnu filozofiju, pitagoreizam je ostao u temelju evropske filozofije.
Pod uticajem pitagoreizma došlo je do specifične racionalizacije zapadne religije. Platonov bog je racionalizovani geometar, čime su mističke doktrine o odnosu vremena i vječnosti racionalizovane idealnim matematičkim objektima koji su vječni i vanvremenski. Nakon što je Sveti Augustin pohrišćanio Platona, kod Tome Akvinskog, Descartesa, Spinoze i Kanta javlja se hibrid religije i rezonovanja, što razlikuje intelektualizovanu teologiju hrišćanske Evrope od mistične azijske. To što je glavni bog pitagorejaca bio Apolon koji je bio i bog pjesništva, našlo je odraz u značaju literarnog izraza u hrišćanstvu.
Završimo citatom iz Russela: "Ja ne znam nijednog drugog čovjeka koji je bio uticajan kao što je on [Pitagora] bio u sferi ljudskog mišljenja. Ovo kažem jer što se pojavljuje kao platonizam, kad se izanalizira, nalazi se da je u suštini pitagoreizam. Cio koncept o vječnom svijetu, koji se otkriva intelektu ali ne i čulima, izveden je od njega. Bez njega, hrišćani ne bi mislili o Hristu kao o Riječi; bez njega, teolozi ne bi našli logički dokaz božje besmrtnosti. Kod njega je sve ovo implicitno sadržano." Drugi su to samo učinili eksplicitnim.
Pitagorin trijumf poslije 2300 godina
Pitagorejci (u ovom kontekstu pod tim podrazumijevamo one matematičare kroz istoriju koji su smatrali da se matematika mora zasnivati pomoću prirodnih brojeva), nikad se nijesu u potpunosti pomirili s geometrizacijom matematike. Dekartov koordinatni metod početkom sedamnaestog stoljeća aktuelizovao je njihovu ideju: pojam broja treba da prethodi geometrijskim pojmovima i ovi posljednji se moraju definisati pomoću pojma realni broj. To je moguće samo ako se Eudoksove proporcije konstruišu unutar aritmetike, pomoću prirodnih brojeva. U XIX vijeku to je postao program u zasnivanju analize (aritmetizacija analize).
Weierstrass, Cantor i Dedekind su početkom 1870-tih konstruisali iracionalne brojeve unutar aritmetike i Pitagorina ideja o utemeljenju matematike pomoću prirodnih brojeva postala je moguća. Preciznije govoreći, od početka XX vijeka sva matematika se zasniva pomoću aksioma o skupovima među kojima se nalazi aksioma (aktuelne) beskonačnosti, koja omogućuje da se najprije naprave skup prirodnih brojeva i aritmetika, a potom pomoću njih konstruišu realni brojevi i svi skupovi koji su predmet izučavanja moderne matematike.
Pitagora je trijumfovao nakon 2300 godina.
Bonus video:
