(Nastavak iz prošlog broja)
Prvi matematičar
Matematika je prije filozofa prirode bila samo skup pravila - rutina, koja su egipatski i vavilonski pisari osvojili tokom višemilenijumskog iskustva pri rješavanje problema što su se pojavljivali u svakodnevnom životu. U egipatskoj i vavilonskoj matematici nema nikakve svjesne apstrakcije - oslobađanja od konkretnosti polazne situacije, da bi postali jasni razlozi zbog čega je nešto tako kako je. Nema pojma dokaza ni začetka matematike kao deduktivne nauke, kakvom je danas znamo. Takvo stanje duha trajalo je hiljadama godina, što dobro ilustruje primjer Pitagorine teoreme za koju su Vavilonci znali više od 1500 godina, ali im nikad nije palo na pamet da je treba dokazivati polazeći od nekih prostijih zaključaka. Filozofi prirode su u egipatskom i vavilonskom matematičkom iskustvu, pitanje kako (se nešto izračunava) zamijenili pitanjem zašto (se tako računa). Ova zamjena je porodila nauku koja se danas zove matematika.
Naime, sistematizacija znanja tražila je da se i za matematiku nađu primitivni pojmovi i tvrđenja iz kojih se izvode ostali pojmovi i tvrđenja. Pošto su geometrijske objekte posmatrali kao objekte realnog svijeta, filozofi prirode su matematiku smatrali dijelom prirodne filozofije. Tales je naišao na poteškoću, nije mogao zasnovati matematiku pomoću pratvari (voda) pomoću koje je objašnjavao realni svijet. Ne znamo da li je pokušao da nađe prve pojmove i prve principe u matamatici, ali znamo da nijedan izvor ne govori o tome. Ipak, Herodot i Proklus smatraju da je Tales bio prvi ko je tražio logičku zasnovanost geometrijskih tvrđenja. Drugim riječima, Tales je prvi napravio proboj prema koncepciji matematike kao nauke u kojoj treba dokazivati pravila. Mnoga matematička pravila bila su poznata Vaviloncima hiljadama godina prije Talesa, ali je on, ne upuštajući se u pitanje šta bi trebalo uzeti za osnovne pojmove i osnovna tvrđenja u matematici, bio prvi čovjek koji je dokazivao matematičke teoreme - dokazivao je neka tvrđenja pomoću nekih drugih koja je smatrao prostijim. Egipatski i vavilonski pisari su svako razmatranje sprovodili na nekom konkretnom objektu; na primjer, na trouglu čija stranica i njena visina su brojno zadate, ili na krugu čiji poluprečnik je neki konkretni broj; imajuć u vidu da će se u svakom drugom primjeru, koji se takođe zadaje konkretnim brojnim podacima, postupiti po analogiji. Tales je prvi kod koga se, kao i u savremenoj matematici, formuliše tvrđenje za svaki trougao ili za svaki krug, i to tvrđenje izvodi, kao i u današnjoj matematici, iz prethodnih tvrđenja koja su takođe formulisana za sve objekte iz neke beskonačne kolekcije objekata, a ne za neku konkretnu brojnu situaciju. U romaniziranoj istoriji matematike ”Papagajeva teorema”, Denija Geđa (Denis Guedj), glavni junak gospodin Riš kaže: ”Njegova [Talesova] težnja bila je da iznese istine koje se odnose na cio jedan red stvari. Jedan beskrajni red!
Želio je da utvrdi istine za beskonačni broj predmeta na svijetu. Ta težnja je bila apsolutna novina. Da bi u tome uspio, Tales će biti prinuđen da jedino putem mišljenja razmatra neku ... stvar. Tales se zanimao za sve krugove na svijetu, a ne tek za šačicu njih, zato je povodom njih nastojao da utvrdi istine koje se tiču njihove kružne prirode, i na osnovu toga može mu se dodijeliti naziv ’prvog matematičara u istoriji’. To je bio vraški nov način gledanja na stvari. Za iskaz poput: Svaka prava koja prolazi kroz centar nekog kruga, dijeli krug na dva jednaka dijela, jedva da je moguće i zamisliti kakva je novina bio.”
Prvi koji je pokušao da nađe ono čega nema kod Talesa - izvjesni broj pojmova i tvrđenja pomoću kojih je logičkim rezonovanjem moguće zasnovati sve druge pojmove u matematici i dokazati sve matematičke teoreme, bio je Pitagora sa Samosa (585 - 500 p.n.e.). Zato se Tales slavi kao prvi matematičar, a Pitagora kao osnivač matematike.
Visina piramide
Tales je prvi razmatrao ugao kao geometrijsku veličinu, od koje već odomaćene, dužina, površina i zapremina, zavise tako da mogu imati razne vrijednosti pri istim dužinskim elementima. (Na primjer, površina pravougaonika i površina kosouglog paralelograma koji ima iste stranice kao i pravougaonik.) Antički izvori navode da su Talesovi domaćini u Egiptu bili začuđeni kad je gost izračunao visinu piramide pomoću njene sjenke. Plutarh u Conviviumu kaže da je Tales ”dokazao da je odnos visine piramide prema dužini njegovog štapa postavljenog perpendikularno na tlo, jednak odnosu dužina njihovih sjenki [piramide i štapa]”. Drugi izvori navode specifičniji oblik ovog zaključka (Laertije): Visina piramide jednaka je dužini njene sjenke u trenutku kad je sjenka vertikalnog štapa jednaka njegovoj dužini. Izvori govore da je Tales takođe računao rastojanje broda od obale.
U oba ova primjera koristi se teorema o proporcionalnosti stranica sličnih trouglova (tj. trouglova koji imaju jednake uglove, zbog čega se i nazivaju sličnim), odnosno teorema o proporcionalnosti parova odsječaka koje dvije paralelne prave odsijecaju na kracima nekog ugla. To je razlog što danas ovu teoremu nazivamo Talesovom teoremom.
Gotovo sve teoreme koje se pripisuju Talesu su iz geometrije. Proklo navodi da je Tales prvi dokazao sljedeće dvije teoreme: (I) Prečnik kruga polovi krug; (II) Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki; (III) Unakrsni (tj. nesusjedni) uglovi koje formiraju dvije prave koje se presijecaju, jednaki su. Vavilonski pisari su, naravno, znali za ova svojstva kruga, trougla i para pravih koje se sijeku, ali su ih prihvatali kao očigledne činjenice.
I dokaz sljedeće dvije teoreme Proklo pripisuje Talesu: (IV) Dva trougla su podudarna (Grci su govorili - jednaka), ako imaju jednaku po jednu stranicu i na njima nalegle uglove; (V) Ugao čija jedna stranica je prečnik kruga, a treće tjeme proizvoljna tačka na krugu, je prav.
Tales je za teoremu (V) mogao saznati, posredno ili neposredno, od Vavilonaca, ali se smatra da ju je on prvi dokazao. Laertije kaže da je Tales žrtvovao vola da proslavi dokaz ove teoreme. (Isto se govori o Pitagori kad je dokazao znamenitu teoremu koja danas nosi njegovo ime.) Ako je Tales, zaista, dokazao teoremu (V), onda je znao poveliko parče Euklidove geometrije prije pitagorejaca.
Smatra se takođe da je Tales prvi dokazao da za svaki trougao postoji krug koji prolazi kroz njegova tjemena, koji se zbog toga naziva krugom opisanim oko trougla.
Ne znamo tačno kako su izgledali Talesovi dokazi pobrojanih teorema, ali možemo pouzdano pretpostaviti da je Tales, kao i uvijek u matematici, dokazivao komplikovanija tvrđenja pomoću prostijih. Tales, ipak, nije ni pokušao da utemelji matematiku kao deduktivni sistem i sva tvrđenja izvede iz malog broja nekih polaznih tvrđenja. To pokazuje ”dokaz” navedene teoreme (V) koji dolazi iz njegovog vremena i pripisuje se Talesu: Kada bi prečnik u nekoj tački izbio na gornju polovinu kruga, onda bi on u ovoj tački imao pravac naviše, a zatim naniže i prema tome ne bi bio prava linija. Iz istih razloga prečnik ne bi mogao da izbije u donju polovina kruga. Stoga prečnik dijeli krug na dva jednaka dijela. Vidimo da je ovo rasprava, a ne matematički dokaz, što znači da je Tales matematiku smatrao dijelom prirodne filozofije. Zbog toga Proklo u Katalogu geometara kaže da je Tales obrađivao ”neke probleme opštim metodom, a druge samo empirijski”.
Sljedbenici
Najpoznatiji Talesovi sljedbenici u šestom vijeku su jonski kosmolozi Anaksimander iz Mileta (ca 610 - ca 545) i njegov učenik Anaksimen iz Mileta (588-524). Anaksagora iz Kalcomene (500-428) formalno ne pripadaše milećanskoj školi, ali je formiran u jonskoj materijalsitičkoj tradiciji i posmatra se kao njen izdanak. (Laertije kaže da je bio Anaksi- menov učnik.) Za razvoj filozofije važno je to što su ovi filozofi produžili da kao i Tales racionalistički objašnjavaju kosmos i njegove fenomene na osnovu iskustva i posmatranja, a ne da li su teorije koje su napravili tačne.
Anaksimander je smatrao da je naš svijet samo jedan od mnogih svjetova koji nastaju i nestaju i determinisani su neograničeno nedeterminisanim apejronom iz kojeg nastaje ”sve što jeste”. Apejron sve generiše u suprotnostima - toplo i hladno, vlažno i suvo, voda i vatra. Kiša nastaje od isparenja, kondenzacijom. Herodot pominje Anaksimandera kao geometra, Talesovog učenika, koji je bio autor jednog pregleda geometrije. Anaksimander je smatrao da se sva nebeska tijela kreću po krugovima. To znači da ova tijela, uključujući i Zemlju, vise slobodno u prostoru jedno pored drugog i da nemaju oslon(a)ca. Implicitno time negira stanovište svog učitelja Talesa da Zemlja pliva u vodi. Inspirisan sunčanim satom koji su koristili Egipćani i Vavilonci, napravio je u blizini Sparte prvi gnomon (=indikator, ono što otkriva), instrument čije sjenke ukazuju na pravac i visinu sunca na horizontu. Vertikalni stub pod sunčevim zracima ima horizontalnu sjenku. Sjenka mijenja pravac i dužinu tokom dana. Najmanja je u podne i taj uslov određuje pravac u odnosu na koji ostali pravci određuju vrijeme dana. (Na ovom zapažanju nastao je sunčani sat.) Dužina podnevne sjenke mijenja se tokom godine i Anaksimander je to iskoristio za mjerenje godišnjeg vremena - godišnja doba, mjesece, dane. Grčki mislioci (Filolaj, Aristarh, Eratosten) koji su vjerovali da je zemlja okrugla, pomoću pravca sjenke određivali su pravac meridijana koji prolazi kroz podnožje štapa. Docnije se termin gnomon koristio za geometrijsku figuru sastavljenu iz dva pravougaonika koja ima formu latinskog slova L sa ortogonalnim kracima.
Anaksimen je vjerovao da postoje prirodni zakoni po kojima se odvijaju prirodni procesi. Eksplicitni je monista: sve nastaje iz jedne pratvari, sve stvari potiču od i vraćaju se u vazduh (voda kad ispari ide u vazduh, da bi je vazduh kasnije istisnuo u obliku kiše). Razne oblike vazduha objašnjava ovako: ”Različitost [vazduha] dolazi od njegove prorijeđenosti ili gustine. Kada je prorijeđen postaje vatra, kad se kondenzuje postaje vjetar, onda oblak, kad se još kondenzuje postaje voda, onda zemlja, onda stijenje. Sve ostalo potiče od ovoga.” Zemlja i Mjesec su ravni diskovi koji plivaju u vazduhu nemajući oslonca. Sunce takođe, ali je Sunce užaren disk.
Persijanci su osvojili Joniju krajem šestog stoljeća p.n.e. Iako su Kir (vl. 557-529) i Darije (vl. 521-486) bili tolerantni prema tradiciji i vjerovanjima svojih grčkih podanika, trgovački i komercijalni život je počeo da stagnira. Stoga već od od Anaksimanderove smrti sredinom šestog stoljeća, politički, ekonomski i intelektualni centri grčkog svijeta sele se prema zapadu.
Anaksagora je napustio Joniju i došao u Atinu 462. godine kada je bio pri kraju svojih tridesetih i tamo ostao trideset godina. Smatra se da je on u Atinu uveo filozofiju. Bitno je uticao ne samo na kasnije filozofe uključujući i Sokrata, već i na formiranje atinske kulture. Bio je učitelj Periklu, Euripidu, Eshilu; njegovu teoriju da je izlivanje Nila porodilo razvoj matematičkih znanja u Egiptu, prihvatio je Herodot. Plutarh kaže da je svojim stavom da dostojanstvo i mudrost čine državnika vrednijim nego demagogija, uticao na Perikla kao državnika. Bio je autor knjige O prirodi, prvog bestslelera iz nauke, koji se u Atini mogao kupiti za jednu drahmu. Po Anaksagori razlog za kosmološki red je nous (kosmički razum). Sve stvari postoje od početka, ali u infinitezimalno malim fragmentima. ”Ima porcija svega u svemu” jer je svijet sastavljen od tih beskonačno malih čestica - sjemenki ili klica raznih stvari, čijim rearanžiranjem nestaju i nastaju raznolikosti. Jedino je nous čist, bez klica drugih stvari: ”Dok sve ostalo ima jedan dio svega drugoga u sebi, um je neograničen i sam svoj gospodar, i nije pomiješan ni sa jednom stvari, nego postoji sam za sebe. (...) On je najfinija od svih stvari i najčistija i ima puno saznanje svake stvari i najveću vlast nad njima.”
Nous je sve pokrenuo i donio poredak u vaseljeni, koji i jeste priroda.
Zato što je govorio da je Sunce užarena lopta a Mjesec nenaseljena Zemlja koja pozajmljuje svoju svjetlost od Sunca, bio osuđen zbog bezbožnosti. Za galaksiju Mliječni put govorio je da je odsjaj svjetlosti zvijezda koje ne obasjava Sunce. Objasnio je eklipsu (pomračenje) Sunca i Mjeseca. Neko vrijeme bio je u zatvoru a zatim protjeran iz Atine. Sokrat u Odbrani pominje ove Anaksagorine teorije kao opšte poznate, što znači da su one krajem petog vijeka p.n.e. bile element opšte kulture.
Plutarh kaže da se, dok je bio u zatvoru u Atini, Anaksagora bavio problemom kvadrature kruga.
Kad je napustio Atinu, neko mu je rekao da se mora odreći Atine. ”Ne ja nje, nego ona mene”, odgovorio je Anaksagora. Kad se neko žalio što mora umrijeti daleko od svojega zavičaja, Anaksagora ga je tješio: ”Put ka Hadu svuda je jednak”.
Katalog geometara i prva istorija metematike
Prvu istoriju matematike napisao je Eudemos sa Rodosa (370-300 p.n.e.), pripadnik Aristotelove škole. Isječak iz Eudemosove Istorije geometrije prenio je Proklus (412-485 n.e) osam stotina godina kasnije u svojim Komentarima.
Ovaj tekst je poznat pod nazivom Katalog geometara ili Eudemosov rezime. U njemu stoji:
”Tales, koji je putovao po Egiptu, bio je prvi koji je uveo ovu nauku u Grčku. Učinio je mnoga otkrića sam, i učio svoje sljedbenike principima na kojima počivaju mnoga druga, obrađujući neke probleme opštim metodom, a druge više empirijski. Sljedeći poslije njega je Mamerk(us) ... i Hipija sa Elisa. Sljedeći poslije ovijh ljudi, Pitagora, transformisao je matematičku filozofiju u sheme opšteobrazovnog predmeta, s pregledom njenih principa od najviših prema nižim i ispitivanjem njenih teorema u nematerijalnom i intlektualnom maniru. On je bio taj ko je otkrio doktrinu proporcionalnih i strukturu kosmičkih figura.”
Bonus video:
