Elementi percepcije i iskustva koji se danas opisuju matematičkim pojmovima prisutni su kod čovjeka prije formiranja bilo koje stare civilizacije. Eksperimenti sa pticama pokazali su da vrana i gavran mogu da razlikuju skupove koji sadrže do četiri elementa, a golub čak do sedam. To razlikovanje nije brojanje 1, 2, 3... već uspostavljanje 1− 1 korespondencije između elemenata jednog i elemenata drugog skupa. Na primjer, kad ptica za svakog ptića u gnijezdu uzme po jedno zrno.
Čovjek je tokom evolucije zadržao svojstvo da razlikuje brojeve. U Vestonici u Moraviji nađena je 1937. godine kost mladog vuka koji je živio pri kraju paleolita na kojoj je bilo 55 dubokih zareza. Prvih dvadeset pet zareza podijeljeni su u grupe od pet, zatim idu zarezi dvaput duži od ovih. Praveći zareze u kosti čovjek je uspostavljao 1-1 korespondenciju između elemenata dva skupa (najvjerovatnije je da se radi o ulovljenim životinjama), jer nije imao izgrađen brojni sistem. Klasu svih skupova koji imaju svojstvo da između svaka dva od njih postoji obostrana 1-1 korespondencija danas nazivamo kardinalnim brojem. Kost iz Moravije sugeriše zaključak da je naš predak u intuiciji imao predstavu o broju kao o kardinalnom broju. Grupisanjem zareza od po pet u snopu, on je, još prije formiranja jezika, pravio neku vrstu brojnog sistema pomoću (kardinalnih) brojeva od 1 do 5.
Mnoga plemena Australije, Amerike i Afrike, kad su se prvi put susrela sa Evropljanima, nalazila su se u fazi formiranja jezika. Neka od njih su živjela u takvim uslovima do dvadesetog stoljeća, tako da je bilo moguće izučavati njihove običaje i način izražavanja misli. Na osnovu tog eksperimentalnog materijala i poznatih mrtvih i živih jezika, imamo sljedeće zaključke.
U vrijeme stvaranja jezika pojavljuju se termini samo za prvih nekoliko brojeva koji su u formiranoj lokalnoj kulturi bili dovoljni za oblast ličnog. Ono što je bilo izvan te psihološke jednine bila je množina za koju nijesu smišljani termini. Na primjer, u našem jeziku imamo jedan čovjek ... četiri čovjeka, pet ljudi, što znači da su množinu od pet i više stvaraoci jezika doživljavali kao mnogo. Sljedeća faza je bila pravljenje većih brojeva pomoću jedan i dva, odnosno pomoću prvih nekoliko brojeva. Tako jedno od pomenutih australijskih plemena ima termine za jedan i dva, dok termin za tri pravi kao složenicu dva-jedan, za četiri kao dva-dva. Slično je i kod ostalih plemena. Ni jedno od njih nema specifične riječi za brojeve veće od četiri ili pet.
Autoritativni filozof jezika Noam Chomsky je iz prethodnog zaključio da je čovjeku urođena moć poimanja broja i da se zbog toga u fazi formiranja jezika broj pojavljuje kao lingvistički univerzal (2 jelena, 2 vuka...), ali ne i kao samostalna apstrakcija - broj 2. Kad će se čovjek napraviti inovaciju i uvesti termine za brojeve kao apstrakciju (broj 2), zavisi od spoljnih uslova u kojima čovjek živi.
Razvoj jezika i termini za brojeve
Ti uslovi su se stvorili prije oko 10.000 godina, kada je ledeni pokrivač u Evropi i Aziji počeo da se topi i da se pojavjuju šume i pustinje.
Čovjek je od skupljanja hrane prešao na njenu proizvodnju. Ljudi su pravili stalne naseobine, pojavila su se sela radi zaštite od neprijatelja i nepogoda - zvijeri i ljudi iz drugih skupina. Ubrzao se tehnički progres, sela su počela da među sobom vode trgovinu, koja se toliko razvila da se nalaze dokazi trgovine između oblasti koje su bile veoma udaljene jedna od druge. Ovaj proces je stimulisao usavršavanje lokalnih jezika i njihovo prožimanje.
U većini jezika u ovoj fazi razvoja pojavljuju se samostalne termini za brojeve do pet, odnosno do deset, rijetko do dvanaest, vrlo rijetko do dvadeset, i pomoću njih se razvijaju brojni sistemi i terminologija koja odražava način pravljenja većih brojeva pomoću ovih. I danas se mogu naći termini koji koji govore da se nekad 14 shvatalo kao 15-1, 9 kao 10-1, itd. U francuskom savremenom jeziku ostala je mješavina sistema s osnovom deset i keltskog sistema s osnovom dvadeset. Brojevi od deset do šezdeset prave se kao u desetnom sistemu, a između 60 i 100 kao u sistemu sa osnovom 20. Tako se za 70 kaže šesdest-deset (soixante-dix), osamdeset je četiri [puta] dvadeset (quatre-vingts), devedeset je četiri [puta] dvadeset-deset, (quatre-vingts-dix).
Iako su se termini za brojeve osamostalili, brojanje se i dalje odnosilo na konkretne stvari i mjere koje su se pojavile za potrebe trgovine. Pojavile su se računske operacije, ali se uvijek sabiraju konkretne stvari: dvije vekne hljeba plus tri vekne hljeba, dva lakta platna plus tri lakta platna; nikada dva plus tri. Period ove protoaritmetike trajao je hiljadama godina i poslije uvođenja pisma.
Čovjek se veoma dugo razvijao prije nego što je počeo mjerenja koja se nijesu svodila na obično brojanje, pa u predistorijskom vremenu nema razlomaka. Stoga riječ broj tokom cijele predistorije, ali i hiljadama godina istorije, značila je ono što danas nazivamo cijeli (pozitivni ) broj. Prvo računanje sa razlomcima pojavljuje se u prvim velikim civilizacijama, u Egiptu i Mesopotamiji.
Iskorak u Egiptu i Mesopotamiji
Na osnovu crteža nađenih u pećinama, možemo tvrditi da je predistorijski čovjek razlikovao oblike kao što su duž, trougao i četvorougao, ali nema indicija da je znao bilo kakva svojstva figura koja danas dokazujemo kao teoreme u geometriji.
Veliki korak u razvoju matematičkih znanja iskoračili su egipatski i vavilonski pisari.
Civilizacije anitčkog Egipta i antičke Mesopotamije razvile su su se oko mogućnosti da se u dolinama ovih velikih rijeka proizvodi izobilje hrane. Većina istoričara smatra da je civilizacija drevnog Egipta u dolini Nila bila prilično visoka već 4241. p.n.e, kada je stvoren prvi kalendar. ”Imena Tigra i Eufrata stara su koliko i ljudsko pamćenje” (Durant). Vrsta primitivnog pisma razvila se u Mesopotamiji (grčki, Međuriječje) oko 8000. godine p.n.e.
Herodot (sredina petog vijeka p.n.e):
”Kralj Sestrotis [Ramzes II] je... (tako oni kažu) podijelio zemlju Egipćanima dajući svima jednaka kvadratna pračad zemlje, i napravio je od toga svoj izvor prihoda, naznačivši plaćanje godišnje takse. I svaki čovjek kome je rijeka oduzela parče zemlje dolazio bi kod Sesostrisa i prijavljivao što ga je zadesilo; onda bi kralj poslao ljude da to pogledaju i iz- mjere za koliko se parcela smanjila, da bi ovaj poslije toga platio proporcionalno taksu koja je u početku bila određena. Iz ovoga, po mom mišljenju, Egipćani su naučili umjetnost geometrije. Sunčani i pješčani sat i dvanaest podjela dana, došlo je u Heladu ne iz Egipta, već iz Vavilonije.” Dodajmo, da su dioba sata na 60 minuta i minuta na 60 sekundi, te podjela kruga na 360 stepeni, došli, takođe iz Vavilonije. I svi sistemi mjera u kojima se jedinice izvode kao dvanaesti djelovi (nekadašnji engleski šiling, inč iz stope) nastali su pod uticajem vavilonske tradicije.
Platon (rani četvrti vijek p.n.e.): ”Sokrat (u Simpozijumu): čuo sam da je u Naukratu, u Egiptu, bio jedan od antičkih bogova te zemlje, kome je posvećivana ptica, koju oni zovu Ibis; a da je ime božanstva bilo Teut. Da je on bio prvi koji je izumio brojeve i aritmetiku, i geometriju i astronomiju, i crteže i sheme, i posebno slova, u vrijeme kad je Tamus bio kralj Egipta, i živio u velikom gradu gornje oblasti koju Grci zovu Egipatska Teba, a da boga oni zovu Amon; k njemu je Teut došao i pokazao mu svoje umijeće, i rekao mu da ono treba da bude podijeljeno ostalim Egipćanima.”
Zagrobno i ovozemaljsko
Antički Egipćanin je vjerovao da će njegov duh živjeti vječno ukoliko se njegovo tijelo sačuva od gladi, nasilja i raspadanja. Između 2700. i 2300. p.n.e. faraoni su gradili veličanstvene piramide, grobnice u kojima su namjeravali da ovo ostvare. Piramide su i po današnjim mjerilima velike građevine. U onu kod Gize mogle bi da se smjeste zajedno katedrala Svetog Petra u Rimu, Vestminsterska opatija, katedrala Svetog Pavla u Lon- donu, i milanska ili firentinska katedrala. Arhitektura hramova, palata, lukova, svodova i kolonda, tražila je ne mala matematička znanja. Na primjer, ako se pogriješi sa nagi- bom ivice četvorostrane piramide za samo jedan stepen, onda će se na visini od oko 150 metara, koliko je bila visoka piramida u Gizi, ivice razići za više od 5 metara. Potrebnu preciznost nije bilo moguće ostvariti standardnim građevinskim alatom kojim su Egipćani raspolagali. Bila su nužna znanja iz geometrije, kao što je konstrukcija dvije ravni koje zahvataju isti ugao sa datom ravni, itd.
Matematika je bila nužna i za izračunvavanje plata za obavljeni rad, za računanje površine parcela i zapremine prinosa, za izračunavanje poreza proporcionalno površini imanja, za prevođenje jedne mjere u drugu, za izračunavanje broja cigala potrebnih za izgradnju nekog zdanja, raciona hrane, i td.
Ovim poslovima rukovodila su lica s intelektualnim sklonostima koja su se regrutovala iz svih društvenih klasa jer je ljudski dar ravnomjerno distribuiran u ljudskoj vrsti. Pisarski sloj je sam sebe reprodukovao po školskom principu - odabiru najboljih. U obje tradicije, egipatskoj i mesopotamskoj, pisari su bili privilegovani i uticajni društveni sloj. Pravili su reformu pisma, prikupili znatna znanja iz matematike, astronomije, tehnike, metalurgije i medicine. Stara sumerska poslovica kaže - onaj koji hoće da se istaknu u školi pisara mora ustati u svitanje.
Egipatski pisari pisali su na papirusu, pa su njihovi dokumenti do nas došli u formi savijutaka (rolni), koje mi nazivamo papirusima. Nažalost, preživio je mali broj njih, jer budući organskim materijalom, papirus se tokom vremena razgrađuje. Mesopotamski pisari pisali su na pločicama od gline koje su pekli na suncu, pa o vavilonskoj matematici imamo izobilje dokumenata u poređenju sa mateamtikom antičkog Egipta i antičke Grčke.
Egipatski pisari su zaslužni što su antički Egipćani, bez obzira na posvećenost zagrobnom životu, vodili suptilan zemaljski život koji je inspirisao umjetnost koja se može mjeriti sa grčkom i rimskom, iako je od njih starija nekoliko hiljada godina. Njihova poezija nam je bliska jer su društveni odnosi u emocionalnoj sferi bili slični današnjim.
Žene su u Egiptu uživale veću zakonsku i moralnu zaštitu i društvenu slobodu nego bilo kada i bilo gdje u istoriji prije naše epohe prava čovjeka.
U duhovnom životu i kulturi postojala je duboka razlika između egipatske i mesopotamske civilizacije. Uzrok za to je velika razlika u njihovoj teološkoj orjentaciji koja je uslovljavala moralne vrijednosti i zakone koje je car donosio.
Dok je Egipat, kao i njegovi faraoni, bio u značajnoj mjeri okrenut zagrobnom životu, život u Mesopotamiji više je bio posvećen ovozemaljskim radostima i prosperitetu. Mesopotamija je lako dosupna ravnica, pa se njena kultura i civilizacija razvila iz mnogo komponenti. Legenda o vavilonskim vrtovima (bez obzira da li su postojali) svjedoči o usmjerenosti na ljepote ovozemaljskog života.
O mesopotamskoj matematici i kulturi obično se govori kao o vavilonskoj jer je mesopotamska matematika doživjela vrhunac tokom prvih stoljeća drugog milenijuma p.n.e, kad su Vavilonci vladali Mesopotamijom i Vavilon bio centar Mesopotamije. Tom periodu pripada i car Hamurabije (ca 1792-1750), poznat po zakonu koji je počivao na pravilu ”oko za oko, zub za zub”, ali i po tome što je razlikovao ubistvo s predumišljajem od ubistva iz nehata i predvidio zaštitu žena. Vavilonci su vjerovali u panteon besmrtnih bogova, od kojih svaki upravlja nekim kosmičkim kompleksom: zemljom, nebesima, morima, planinama, rijekama. Svaki Vavilonac imao je još i ličnog boga kojem se molio. Žrtve bogovoima bile su impresivne ceremonije. Proslava nove godine na dan proljećne ravnodnevice bila je najvažniji religijski praznik u godini.
Egipatska i vavilonska kultura i civilizacija trajale su preko 4000 godina prije nego što ih Aleksandar Makedonski nije osvojio, (Vavilon 330. p.n.e., Egipat 332. p.n.e.), kad počinje njihova helenizacija. Prije toga izvršile su veliki uticaj na grčku kulturu i nauku u njenoj formativnoj fazi čime su trajno utkane u temelje evropske kulture. Literatura, nauka i matemtika antičke Grčke nastale su kao derivati vavilonske i egipatske. Epski spjev Gilgameš koji je nastao na sumerskom jeziku oko 2500. p.n.e. (kojim govore Vavilonci) govori o avanturama bića koje je bilo 1/3 bog i 2/3 čovjek. Homerove spjevove i evropski roman koji počinje pričama o ljudskoj avanturi su izvedeni iz iz tradicije Gilgameša. Nauka i matematika u antičkoj Grčkoj počinje sistematizacijom znanja koja su Grci preuzeli od Vavilonoaca i Egipćana.
Astronomija
Jedna od najvažnijih primjena matematike bila je u astronomiji koja je počela da se razvija iz potrebe da se predvidi kada će nastupiti poplave i kada treba posaditi i ubrati. U dolini Nila bilo je moguće ostvariti tri prinosa u jednoj sezoni, ali pod uslovom da procjena u kojem intervalu treba obaviti sjetvu i žetvu bude pouzdana. Jedini način za to bilo je da se uspostavi korespondencija između položaja zvijezda i planeta na nebu tokom njihovog periodčnog kretanja i klimatskih pojava i optimalnih termina za ove poslove. Sljedeći citat iz zbirke didaktičke poezije Radovi i dani koju je napisao grčki pjesnik Hesiod pri kraju osmog vijeka p.n.e, ilustruje tu korespodenciju:
”Kada izlaze Plejade vrijeme je za srp, a za plug kad one zađu; ... kad Arkturus ustaje iz mora i, penjući se naveče, ostaje vidljiv cijelu noć, grožđe mora biti podrezano; a kada Orion i Sirius stignu u sredinu nebesa i Eos ružičastih prstiju ugleda Arkturusa, grožđe mora da se ubere; kad Plejade, Hijade i Orion zađu, sjeti se pluga; kad Plejade, potapajući Orion, urone u tamno more, oluja se može očekivati; 50 dana poslije sunčevog okretanja je pravo vrijeme za navigaciju; kad se Orion pojavi, Demetrov dar treba donijeti na dobro uglačano guvno”.
Pismo egipatskog pisara
[...] Gledaj, došao si i opteretio me tvojim poslovima. ... Dobio si zadatak da iskopaš jezero. Dolaziš kod mene da se raspitaš za racione za vojnike, i kažeš ’izračunaj to’. Na moja pleća pada obaveza da naučiš da obavljaš svoj zadatak.
[...] Treba konstruisati bedem, 730 lakata dugačak, 55 lakata širok, koji sadrži 120 odjeljaka, ispunjenih trskom i gredama; 60 lakata visok na njegovom vrhu, 30 lakata u sredini, sa dvostrukom borbenom stazom od po 15 lakata i pješačkom stazom od 5 lakata. Količina potrebnih opeka tražena je od generala, pitali su i sve pisare, ali niko nije ništa znao. Svi se nadaju u tebe i kažu: ’Ti si najpametniji pisar, ... odluči u naše ime brzo! Vodi računa da ti je ime slavno ... Neka niko ne kaže da postoje stvari koje čak ni ti ne znaš. Kaži nam koliko opeka je nužno?’
Gledaj, njegove mjere [bedema] su pred tobom. Svaki od odjeljaka je 30 lakata i 7 lakata širok. (Između 1500. i 1200. p.n.e.)
Satirični prizvuk pisma svjedoči da su i tadašnji učitelji, kao i današnji, morali da ubjeđuju svoje učenike da treba da uče.
O pisarevoj umjetnosti, citat s jedne pločice:
Pisareva umjetnost je majka oratora, otac majstora, Pisareva umjetnost je očaravajuća, nikada te neće zasititi, Pisareva umjetnost se ne uči lako, ali ko je nauči nema više potrebe da se nje pribojava. Stremi da usavršiš pisarevu umjetnost i ona će te obogatiti, Budi marljiv u pisarevoj umjetnosti i ona će ti obezbijediti bogatstvo i izobilje, Ne zanemaruj pisarevu umjetnost, ne zapuštaj je. Pisareva umjetnost je ’kuća bogatstva’, tajna Amanke, Radi bez prestanka na pisarevoj umjetnosti i ona će ti otkriti svoje tajne.
(Kraj u narednom broju)
Galerija
Bonus video:
